ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ

ಗತಿವಿಜ್ಞಾನವು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸ್ಥಾಯೀಸ್ಥಿತಿ ಇಲ್ಲವೇ ಚಲನಸ್ಥಿತಿ ಕೊಡುವ ಅಥವಾ ಅದರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವುಂಟುಮಾಡುವ ಬಲಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ; ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಬಲಗಳಿಂದ ಪ್ರಯುಕ್ತವಾದ ಹಾಗೂ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವೇಗವಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ತನೆಯ ಅಭ್ಯಾಸ (ಡೈನಮಿಕ್ಸ್). ಇದು ಬಲವಿಜ್ಞಾನದ (ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಒಂದು ಅಂಗ. ಇತರ ಎರಡು ಅಂಗಗಳು ಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಶುದ್ಧಗತಿವಿಜ್ಞಾನ (ಕೈನ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್). ವಿರಾಮದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲವೇ ಸಮತೋಲ ಬಲಗಳ ಪ್ರಭಾವದಲ್ಲಿ ಇರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನ. ಚಲನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಬಲಗಳ ಗೊಡವೆಗೆ ಹೋಗದೆ ಕೇವಲ ಚಲನೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಶುದ್ಧಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಭೌತವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತವಿಧಾನ: ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಮುನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸುಪ್ತವಾಗಿರುವ ಚಿಂತನೆಯ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ತಿಳಿದಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಮೊದಲನೆಯದು, ಭೌತವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಚುಕ್ಕಿ ಬಿಂದು; ನೇರ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ಪೆನ್ಸಿಲಿನ ಚೂಪು ಮೊನೆಯಿಂದ ಮಾಡಿದ ಗೀರು ಸರಳರೇಖೆ; ಕೈವಾರ ರೇಖಿಸುವ ಆಕೃತಿ ವೃತ್ತ ಇತ್ಯಾದಿ. ಎರಡನೆಯದು ಆದರ್ಶ ಅಥವಾ ಗಣಿತವಿಧಾನ. ಇಲ್ಲಿ ಬಿಂದು ಕಾಗದದ ಮೇಲಿನ ಚುಕ್ಕಿ ಅಲ್ಲ, ಬದಲು ಚುಕ್ಕಿ ಪ್ರೇರಿಸುವ ಒಂದು ಆದರ್ಶವಸ್ತು. ಭೌತವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಥವಾ ಮನುಷ್ಯನಿರ್ಮಿತ-ಕುರಿತು ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರಿತು ದತ್ತ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಆ ವಸ್ತುಗಳು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸಬಹುದೆಂದು ಮುನ್ನುಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಅದೆಷ್ಟೊ ಸಲ ಓರ್ವ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಅರಿವೇ ಇಲ್ಲದೆ ಭೌತವಿಧಾನದ ಚಿಂತನೆಯಿಂದ ಗಣಿತವಿಧಾನದ ಚಿಂತನೆಗೆ ಜಾರಿರುತ್ತಾನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಗೋಳವೆಂದು ಒಬ್ಬ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನಿ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದೊಂದು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತಭಾವನೆ. ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲ. ಭೌತವಿಧಾನದಿಂದ ಗಣಿತವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಮರಳುವ ಕ್ರಿಯೆ ಬಲು ಸುಲಭವೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳೆವಣೆಗೆಗೆ ತೀರ ಅನಿವಾರ್ಯ. ಭೌತವಿಧಾನದ ಚಿಂತನೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಹಜವಾದದ್ದು, ನಿಜ. ಹಾಗೆಂದು ಅದನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಪ್ರಗತಿ ಕುಂಠಿತವಾಗುವುದು. ಭೌತವಸ್ತುಗಳು ಅತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ. ಅವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಅವಶ್ಯಕ ಗುಣಗಳೇನು, ಅನುಷಂಗಿಕ ಗುಣಗಳೇನು ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಂಡು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಬಲು ಕಠಿನ. ಹೀಗಾಗಿ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ನಿಸರ್ಗದ ಒಂದು ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಮೋಡೆಲ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ, ಪರಿಶೀಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸನ್ನಿವೇಶದ ನಿಯಮಗಳನ್ನೂ, ಬಲಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸಿ, ಆ ಪ್ರತಿರೂಪದ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಡುವ ಒಂದು ಕಣ್ಗಟ್ಟಿನ ಆಟವಿದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೂಮಿ ಒಂದು ಸಮಸಾಂದ್ರತೆಯ (ಹೊಮೊಜೀನಿಯಸ್) ದೃಢ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕಲ್ಪ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಂಥಿಂಥ ಬಲಗಳು ವರ್ತಿಸಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ ನಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು? ಈ ಗಣಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಲಭ್ಯವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ವೀಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ದೊರೆತ ಉತ್ತರಗಳೊಡನೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವು ತಾಳೆಯಾದರೆ ನಮ್ಮ ಪ್ರತಿರೂಪ ಸರಿಯಾದದ್ದೆಂದೂ, ಆಗದಿದ್ದರೆ ಅಲ್ಲಿನ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಪರಿಷ್ಕೃತ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕೆಂದೂ ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಭಾಷೆ ಕುರಿತು

ಈಗ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ನಾಲ್ಕು ಮಾತುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ.

ಜಡತೆ: ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಲಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡಿದಾಗ, ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ಗುಣಕ್ಕೆ ಜಡತ್ವ (ಇನರ್ಷಿಯ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಒಂದೇ ಬಲದ ಪ್ರಯೋಗವಾದಾಗ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ನಿಶ್ಚಲವಸ್ತುಗಳು ಭಿನ್ನವಾದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದುವುವು. ನಿಧಾನವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಜಡತ್ವ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ ಜಡತ್ವ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ದ್ರವ್ಯವನ್ನು (ಮ್ಯಾಟರ್) ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ತಾನಿರುವ ನಿಶ್ಚಲ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನಾಗಲೀ ಏಕರೀತಿ ವೇಗದ ಸರಳರೇಖಾ ಚಲನೆಯನ್ನಾಗಲಿ ವ್ಯತ್ಯಯಿಸದಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣ.

ರಾಶಿ: ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಜಡತ್ವದ ಅಳತೆಯೇ ಎಂದರೆ ಜಡತ್ವದ ಮಾನವೇ ರಾಶಿ (ಮಾಸ್).

ಕಣ: ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ, ಹಾಗೆಯೇ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ರಾಶಿ ಇರುವ ಆದರೆ ಗಾತ್ರವಿಲ್ಲದ ಅಂದರೆ ಆಯಾಮರಹಿತ ಒಂದು ಆದರ್ಶ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಣವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಣದ ರಾಶಿಯನ್ನು m ಎಂಬ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾಲ: ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಧಿ (t). ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಲ್ಲದೆ, ಕಾಲ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಕಾಲ 0 ಎಂದೂ, ವರ್ತಮಾನ ಕಾಲ t ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಕಾಲದಿಂದ ವರ್ತಮಾನ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಸಂದ ಕಾಲ t.

ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ: ಒಂದು ಕಣ ಅಥವಾ ವಸ್ತು ಕಾಲ ಬದಲಾದಂತೆ ತಾನಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಸ್ಥಾನದಿಂದ) ಬೇರೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ (ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ) ಹೋದರೆ ಆ ಬಿಂದುಗಳ (ಸ್ಥಾನಗಳ) ನಡುವಿನ ದೂರಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಂಥ ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣ (ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್) ಹಾಗೂ ದಿಶೆ ಎರಡೂ ಮೂಖ್ಯ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುವ ಗಣಿತೋತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸದಿಶ (ವೆಕ್ಟರ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರು ವಿಸ್ಥಾಪನೆ.

ಮಾನಗಳು: ಕಾಲ, ರಾಶಿ ಮತ್ತು ದೂರ ಇವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಪ್ರಚಲಿತವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು ಈ ರೀತಿ ಇವೆ.

ವಿವರ	ಸಿ.ಜಿ.ಎಸ್	ಎಫ್.ಪಿ.ಎಸ್.	ಎಸ್‌ಐ
ದೂರ	ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್	   ಫುಟ್	       ಮೀಟರ್
ರಾಶಿ	ಗ್ರಾಂ	           ಪೌಂಡ್      ಕಿಲೋಗ್ರಾಮ್
ಕಾಲ	ಸೆಕೆಂಡ್	           ಸೆಕೆಂಡ್	ಸೆಕೆಂಡ್

ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುವ 1 ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಒಂದು ಸೌರ ಮಾಧ್ಯದಿವಸದ 86164.09 ನೆಯ ಭಾಗ.

ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯಗಳು

ಸರಳರೇಖೆಯ ನೇರ ಕಣದ ಚಲನೆ: ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಕಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಬಿಂದು O ಆಗಿರಲಿ. ಕಣ t ಕಾಲದಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲೂ, t + δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲೂ ಇರಲಿ. OA = x ಮತ್ತು  OB = x+ δx ಆಗಿರಲಿ. OA ಗೆ ಕಣದ x-ನಿರ್ದೇಶಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಲ್ಲದೆ x ಎಂಬುದು ಕಾಲದ ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎಂದರೆ x = f(t).

ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ: A ಯಲ್ಲಿದ್ದ ಕಣ δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ δx ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಆಗ $\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\delta x}{\delta t}}={\frac {dx}{dt}}=v$ ಎಂಬುದು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಣದ ವೇಗ. ವೇಗ ಒಂದು ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣ. ಒಂದು ಕಣದ ವೇಗ A ಯಲ್ಲಿ (ಕಾಲ t) v ಆಗಿದ್ದು B ಯಲ್ಲಿ (ಕಾಲ t + δt) v + δv ಆಗಿದ್ದರೆ $\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\delta v}{\delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ ಎಂಬುದು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಣದ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ. ವೇಗದಂತೆಯೇ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವೂ ಒಂದು ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣ.

ಸದಿಶ ಮತ್ತು ಅದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳು: ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಇವುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದರೆ ಅವನ್ನು ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಮಾಣದ ಜೊತೆಗೆ ದಿಶೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೇಳಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಇಂಥವಕ್ಕೆ ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ದಿಶೆಯನ್ನು ಹೇಳದೆ ಕೇವಲ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಉಕ್ತವಾದವುಗಳಿಗೆ ಅದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ರಾಶಿ, ಉಷ್ಣತೆ, ಜವ (ಸ್ಪೀಡ್) ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಅದಿಶಗಳು. ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಬಾಣ ಗುರುತಿನಿಂದ ಇಲ್ಲವೆ ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನೇರಕರಣದ ಚಲನೆ: P ಮತ್ತು Q ಒಂದು ಕಣದ ಎರಡು ಸಮೀಪ ಸ್ಥಾನಗಳು. ಕಾಲ t ಯಲ್ಲಿ ಕಣ P ಯಲ್ಲಿಯೂ, ಕಾಲ t + δt ಯಲ್ಲಿ Q ನಲ್ಲಿಯೂ ಇದ್ದರೆ ಆಗ OP = r, ${\overrightarrow {OP}}=r+\delta r,PQ=\delta s$. δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಾಂತರ δr.

$v=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\delta r}{\delta t}}={\frac {dr}{dt}}$ ಎಂಬುದು B ಯಲ್ಲಿ ಕಣದ ವೇಗ. v ಎಂಬ ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣ $|V|=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {|PQ|}{\delta t}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {|PQ|}{\delta s}}\cdot {\frac {\delta s}{\delta t}}=1\times {\frac {\delta s}{\delta t}}={\frac {\delta s}{\delta t}}$

${\frac {\overrightarrow {PQ}}{\delta t}}$ ನ ದಿಶೆಯೂ ${\overrightarrow {PQ}}$ ವಿನ ದಿಶೆಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ Q ಬಿಂದು P ಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ PQ ಜ್ಯಾ P (sine P) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಗನಿರೂಪಣೆ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಕೂಡ ಒಂದು ಏಕಮಾನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಗುವ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯಾದ್ದರಿಂದ  ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}$

ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ: OX ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸರಳರೇಖೆ. ಒಂದು ಕಣ AB ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ. t ಕಾಲದಲ್ಲಿ p ಯಲ್ಲೂ, t + δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ Q ನಲ್ಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ∠XOP = θ, ∠XOQ = θ + δθ ಆಗಿದ್ದರೆ

$\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\delta \theta }{\delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}=\omega$ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪುನಃ ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {d\omega }{dt}}=\alpha$ ಕ್ಕೆ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಮಹತ್ವ (ಮೊಮೆಂಟ್): ಇದು ಬಲ ಅಥವಾ ಬಲಯುಗ್ಮ ಭ್ರಮಣ ಪ್ರಮಾಣ. ಬಿಂದುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಬಲದ ಮಹತ್ವ = ಬಲxನಿಗದಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಲದ ಕ್ರಿಯಾರೇಖೆಗಿರುವ ಲಂಬದೂರ. ಬಲಯುಗ್ಮದ ಮಹತ್ವ(ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಎ ಕಪಲ್)=ಬಲ‍xಬಲಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬದೂರ. ಒಂದು ಬಲ F ನ ವರ್ತನ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸರಳ ರೇಖೆ l ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರ d (ಷಾರ್ಟೆಸ್ಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್) ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ Fd  ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ l ನ್ನು ಕುರಿತು F ನ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದೊಂದು ಸದಿಶೋತ್ಪನ್ನ. ಸಮತಲ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ O ಎಂಬುದು F ನೆಲೆಸಿರುವ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಆಗಿರಲಿ. O ನಿಂದ F ನ ವರ್ತನರೇಖೆಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬದ ಉದ್ದ d ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ O ವನ್ನು ಕುರಿತು F ನ ಭ್ರಮಣಾಂಕ Fd ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹ ಒಂದು ಸದಿಶೋತ್ಪನ್ನ.

ನ್ಯೂಟನ್ನಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ನಿಯಮ ಚಲನೆಯಲ್ಲಾಗುವ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಬಲದ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಬಲವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಣದ ರಾಶಿ m ಮತ್ತು ವೇಗ v ಇರಲಿ. ಆಗ ಅದರ ಸಂವೇಗ p = mv. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲ $F=k{\frac {d}{dt}}(mv)$. ಇಲ್ಲಿ k ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ. m ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದ್ದರಿಂದ F = kma. ಸೂಕ್ತ ಏಕಮಾನಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ k ಯನ್ನು 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆಗ F = ma. ಈ ಬಲು ಮುಖ್ಯ ಸೂತ್ರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. F ಬಲದ ಅಕ್ಷೀಯ ಘಟಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ

X, Y, Z ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ $x=m{\ddot {x}},y=m{\ddot {y}},z=m{\ddot {z}}$

ಕಾರ್ಯ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿ: AB ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಣದ ಮೇಲೆ F ಎಂಬ ಬಲ ಪ್ರಯೋಗವಾಗಿದೆ. ಕಣ t ಕಾಲದಲ್ಲಿ C ಯಲ್ಲಿಯೂ, t + δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ D ಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರಲಿ. δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ F ಬಲ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನೂ ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ C ಯಿಂದ D ಗೆ ಕಣ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಆಗುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ವರ್ಕ್) δW = F.δr ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಎಂದರೆ ಕಣ A ಯಿಂದ B ಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಆಗುವ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯ

$W=\int \limits _{A}^{B}F.dr$

ಇದನ್ನೇ ಕಾಯದ ಮೇಲೆ ಬಲದ ವರ್ತನೆಯ ಪರಿಣಾಮ = (ಬಲದ ಪರಿಮಾಣ) x (ಬಲದ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಯದ ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ) ಎಂದು ವಿವರಿಸುವುದು.

ಕಣದ ರಾಶಿ m ಸ್ಥಿರವಾದರೆ $F=m{\frac {dv}{dt}}$. ಅಲ್ಲದೆ δr = v.δt

$\therefore F.dr={\frac {1}{2}}mv^{2}$

∴ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯ =$\int \limits _{A}^{B}F.dr=\int \limits _{A}^{B}{\frac {1}{2}}mv^{2}$

= ${\frac {1}{2}}m(v_{B}^{2}-v_{A}^{2})$

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಕ್ಷಮತೆಗೆ ಶಕ್ತಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧ; ಚಲನಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ವಿಭವಶಕ್ತಿ.

${\frac {1}{2}}mv^{2}=T$ ಎಂಬುದನ್ನು ಚಲನಶಕ್ತಿ (ಕೈನೆಟಿಕ್ ಎನರ್ಜಿ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯ = T_B - T_A. ಕಣವನ್ನು A ಯಿಂದ B ಗೆ ಒಯ್ಯುವಾಗ F ಎಂಬ ಬಲ ಮಾಡುವ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯ ಚಲನಶಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಎಂದಾಯಿತು. F.δr ಎಂಬುದು δt ಕಾಲದಲ್ಲಿ F ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯ. ಇದರ ದರ $F.{\frac {\delta r}{\delta t}}$ಈಗ $\lim _{\delta t\to 0}F.{\frac {\delta r}{\delta t}}=F.{\frac {dr}{dt}}=F.v$. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡುವ ದರಕ್ಕೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (ಪವರ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. $T={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ಎಂಬುದು ಚಲನಶಕ್ತಿಯೆಂದು ಹೇಳಿದೆಯಷ್ಟೇ. ಇದಕ್ಕೆ ವೇಗ ಕಾರಣವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅಂತೆಯೇ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಲೋ ರೂಪವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಲೋ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಗುಪ್ತವಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ ವಿಭವಶಕ್ತಿ (ಪೊಟೆನ್ಶಿಯಲ್ ಎನರ್ಜಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಇಲ್ಲವೇ ಶಕ್ತಿ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ದರಕ್ಕೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (ಪವರ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಸ್‌ಐ ಏಕಮಾನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಾಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ. (1 ವಾಟ್=1ಜೂಲ್/ಸೆಕೆಂಡ್). ಬ್ರಿಟಿಷ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಅಶ್ವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ. 1ಅಶ್ವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ = 746 ವಾಟ್‌ಗಳು.

ಶಕ್ತಿ ಸಂರಕ್ಷಣೆ (ಕನ್ಸರ್ವೇಶನ್ ಆಫ್ ಎನರ್ಜಿ): ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ರೂಪದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದೇ ವಿನಾ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಅಥವಾ ನಾಶಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿ ಸಂರಕ್ಷಣ ನಿಯಮ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಕಣಗತಿವಿಜ್ಞಾನ: ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದು ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಪರಿಸರದೊಡನೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಆ ವಸ್ತು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಒಂದು ಕಣವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿ, ಚಂದ್ರ, ಗ್ರಹಗಳು, ಇವನ್ನೆಲ್ಲ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರಾಶಿಗಳಿರುವ ಭಿನ್ನ ಕಣಗಳೆಂದೇ ಗಣನೆಯ ಸೌಕರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಭಾವಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಪರಮಾಣುವೊಂದರ ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸಿನ ಸುತ್ತ ವಿವಿಧ ಶಕ್ತಿಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತಿರುವ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳನ್ನು ಆ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕಣಗಳೆಂದೇ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆ ಕಣದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ) ಮೂರು. ಈಗ ದತ್ತ ಬಲಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

(a) ಮೊದಲು ಫಲಿತಬಲವನ್ನು (ಎಂದರೆ ಕಣದ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುವ ಎಲ್ಲ ಬಲಗಳ ಸದಿಶ ಮೊತ್ತ) ಪಡೆದು ಬಳಿಕ ಆಯ್ದ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬದಿಶೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಘಟಕವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

(b) ಈ ಮೂರು ದಿಶೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಕಣದ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

(c) ಈ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷಗಳನ್ನು) ಅನುಕಲಿಸಿ ಕಣದ ವೇಗ ಘಟಕಗಳನ್ನೂ, ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಕೆಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳು (ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಆರ್ಬಿಟ್ಸ್): ಕಣಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉತ್ಕೃಷ್ಟ ನಿದರ್ಶನ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು. ಇಂಥ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಉಗಮವನ್ನು ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಸ್ವರೂಪದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಿವು: O ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರೀಕೃತ ಬಲಕೇಂದ್ರ. P ಎನ್ನುವ ಒಂದು ಕಣದ ಮೇಲೆ ಇದು ಆಕರ್ಷಣ ಬಲವನ್ನು ದತ್ತ ನಿಯಮಾನುಸಾರ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸುವುದು. ಈ ಬಲ OP ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ O ನೆಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಗ P ರೇಖಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯ ಬಲಕೇಂದ್ರ (S); ಭೂಮಿ (E) ರಾಶಿ m ಇರುವ ಒಂದು ಕಣ. ಸೂರ್ಯ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸುವ ಬಲ ಸೂರ್ಯ - ಭೂಮಿ ದೂರದ ವ್ಯಸ್ತ ವರ್ಗಾನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ α1/SE². S ನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಯೂ, Sx ಎಂಬ ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಾರಂಭಿಕಾಕ್ಷವಾಗಿರುವಂತೆ ಆಯ್ದರೆ ಕಣ E ಯ ಚಲನಸಮೀಕರಣಗಳು (ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಲ್ಲಿ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

$m(r-r\theta ^{2})={\frac {m\mu }{r^{2}}}$

$m{\frac {1}{r}}.{\frac {d}{dt}}(r^{2}\theta )=0$ …………..(10)

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದರೆ ಕಣದ ಪಥ ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಒಂದು ಬಲ ಕೇಂದ್ರದ ಪ್ರಭಾವದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಕಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಸಮೀಕರಣ

${\frac {1}{r}}=1+e\cos \theta$

ಎಂದು ಆಯ್ದು

${\begin{aligned}&m({\ddot {r}}-{\dot {r}}\theta ^{2})=R\\&m={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}(r^{2}\theta )=0\end{aligned}}$

ಎಂಬ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ R ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು R = μ/r², ಎಂದರೆ ಕೇಂದ್ರಾಕರ್ಷಣ ಬಲ ದೂರದ ಪ್ರತಿಲೋಮ ವರ್ಗಾನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ದೃಢಕಾಯಗಳ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ (ಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ರಿಜಿಡ್ ಬಾಡೀಸ್): ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳನ್ನು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಕಣಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯೂ ಆಗದಿದ್ದರೆ ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ದೃಢಕಾಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಬ್ಬಿಣದ ಸರಳು, ಮರದ ತುಂಡು, ಇತ್ಯಾದಿ. ದ್ರವ, ಅನಿಲ ಪದಾರ್ಥಗಳು ದೃಢವಸ್ತುಗಳಲ್ಲ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ದೃಢ ವಸ್ತುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳು ಪ್ರಯುಕ್ತವಾದಾಗ ಅದರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಆಲಂಬರ್ಟನ ತತ್ತ್ವದ (ದಲಾಂಬರ್ಟನ ತತ್ತ್ವ ಎಂದೂ ಹೇಳುವುದುಂಟು) ನೆರವಿನಿಂದ ಅಭ್ಯಸಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆರು.

${\begin{aligned}&\Sigma m{\ddot {x}}=\Sigma X\\&\Sigma m{\ddot {y}}=\Sigma Y\\&\Sigma m{\ddot {z}}=\Sigma Z\\&\Sigma m(y{\ddot {z}}-z{\ddot {y}})=\Sigma (yZ-zY)\\&\Sigma m(z{\ddot {x}}-x{\ddot {z}})=\Sigma (zX-xZ)\\&\Sigma m(x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}})=\Sigma (xY-yX)\end{aligned}}$

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ತಿಳಿದು ಬರುವ ಸಂಗತಿಗಳಿವು:

1. ದೃಢವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸರಳಚಲನೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಲೇಷನ್) ಮತ್ತು ಆವರ್ತ ಚಲನೆ (ರೊಟೇಷನ್) ಎಂದು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತಿರುವುದು ಒಂದೇ ಕಾಲದಲ್ಲಾದರೂ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವಾಗ ಇಂಥ ಪ್ರತ್ಯೇಕೀಕರಣ ಬಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಮಸ್ತ ರಾಶಿಯೂ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (ಅರ್ಥಾತ್ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟು ರಾಶಿಯ ಒಂದು ಕಣ ಇದೆ) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ತ ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳೂ ಪ್ರಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲಿಗೆ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯನ್ನೂ ಕಣಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಸೂತ್ರ ನಿಯಮ ವಿಧಿಗಳ ಅನುಸಾರ ಅಭ್ಯಸಿಸಬಹುದೆಂದಾಯಿತು. ಆವರ್ತನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ತ ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳೂ ಪ್ರಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಂದರೆ, ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆ ಆ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಿರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದು ಅದೇ ಬಲಗಳು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಚಲನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳ ಮೊತ್ತ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂವೇಗ (ಮೊಮೆಂಟಂ) ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತತ್ತ್ವಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಸಂವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು.

3. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ಬಾಹ್ಯಬಲಗಳ ಮಹತ್ವ (ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್) ಮೊತ್ತ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಯೋಗದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತತ್ತ್ವಕ್ಕೆ ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಜಡತಾ ಮಹತ್ವ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಇನರ್ಶಿಯ): ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಕಣದ ಜಡತ್ವದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ mr² ಎಂಬ ರಾಶಿ. ಇಲ್ಲಿ m ಕಣದ ರಾಶಿ ಮತ್ತು r ಕಣದಿಂದ ಸರಳರೇಖೆಯ ಲಂಬ ದೂರ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಣಗಳ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ A ಎಂಬ ಒಂದು ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಕಣವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ-ಈ ರಾಶಿಯ ಬೆಲೆ $\sum \limits _{A}mr^{2}$ ಆಗುತ್ತದೆ. ಕಣಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವಿತರಣೆಯಾದ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಕಲನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಜಡತಾ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. l ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ, M ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಒಂದು ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಜಡತಾ ಮಹತ್ವವನ್ನು Mk² ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇಲ್ಲಿ k ಗೆ l ನ ಸುತ್ತ ದೃಢವಸ್ತುವಿನ ಭ್ರಮಣತ್ರಿಜ್ಯ (ರೇಡಿಯಸ್ ಆಫ್ ಜೈರೇಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ದೃಢವಸ್ತುಗಳ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪದೇ ಪದೇ ತಲೆದೋರುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಜಡತಾ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಕುರಿತು ಇದೆ. ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಕಾಯವು ಅದರ ಚಲನೆಯ ದರದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ತೋರುವ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ಜಡತಾ ಮಹತ್ವ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೃಢವಸ್ತುವಿನ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತವೆ:

1. ಸ್ಥಿರಾಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಆವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುವ ದೃಢವಸ್ತು.

ಚಲನಶಕ್ತಿ $T={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗ h = Iω

ಇಲ್ಲಿ I ಸ್ಥಿರಾಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವಸ್ತುವಿನ ಜಡತ್ವದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ, ω ಕೋನೀಯ ವೇಗ.

2. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮತಲಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ದೃಢವಸ್ತು.

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

h = Iω

ಇಲ್ಲಿ v ವಸ್ತುವಿನ ರೇಖಿಯ ವೇಗ; h ಮತ್ತು I ಗಳನ್ನು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ.

3. ದೃಢ ವಸ್ತು ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಆವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ

ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗ $N=I{\dot {w}}$

ಶಕ್ತಿ $E={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+V$

ಇಲ್ಲಿ V ವಸ್ತುವಿನ ವಿಭವ ಶಕ್ತಿ.

4. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರ ಚಲನೆ

$m{\ddot {x}}=X,m{\ddot {y}}=Y$

ಸಂವೇಗ $N=I{\dot {w}}$

ಶಕ್ತಿ $E={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+V$

ಉಪಸಂಹಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಈ ವರೆಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಷಯಗಳ ಸುತ್ತ ಹರಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿನ ಗಣನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದೆಶಕ ಚೌಕಟ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಮ್ಮ ರಚನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ ಕಾಲದ ಹರಿವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಇಂಥ ಭಾವನೆ ಕೇವಲ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾದದ್ದು. ಭೂಮಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಭಾವಿಸುವೆವೇ? ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಿದಧ ಸ್ಪಷ್ಟ ಚಲನೆಗಳಿವೆ. ಸೂರ್ಯನನ್ನಾಗಲೀ ಕ್ರಾಂತಿವೃತ್ತತಲವನ್ನಾಗಲೀ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಭಾವಿಸುವೆವೇ? ಆಕಾಶಗಂಗೆಯ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಹ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಬೃಹದ್ವಿಶ್ವದೆಡೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತ ಹೋದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವಿಶ್ವದೆಡೆಗೆ (ಪರಮಾಣು ವಿಶ್ವ) ಹಿಂದುವರಿಯುತ್ತ ತೆರಳಿದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ನಿಶ್ಚಲತೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಕ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿ ನಾವು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಚಲನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಭಾಷೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಅವಕಲಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸದಿಶಗಳು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ನಮಗೆ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ. ಚಲನೆಯ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಅವನ್ನು ನಮ್ಮೆದುರು ಒಡ್ಡುವ ಸವಾಲು. ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗುವ ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಒದಗಿಸಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು ಬಲು ಮುಖ್ಯವಾದವು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಸರಿಯಾದ ಹಾಗೂ ಸಮರ್ಪಕವಾದ ಅಧ್ಯಯನ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದು ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನರ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ. ಈ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗಿದ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ದಾಟಿ ರಿಲೆಟಿವಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ, ಗಣಿತೀಯ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೂ ಓದುಗರನ್ನು ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ.