ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳ ತೂಕಗಳಿಂದಾದ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ (Resultant) ಬಲವು ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವುದೋ ಆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.^[೧]

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೂ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೀತಿಯ ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದು. ಇದನ್ನು "G" ಅಥವಾ "C.G" ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ

ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ

ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ನಿರೂಪಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವೂ ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನತ್ತ ಆಕರ್ಷಿಸಲ್ಪಡುವುದು. ಈ ಆಕರ್ಷಣ ಬಲವು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು. ಅದನ್ನು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಆ ವಸ್ತುವಿನ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳ ತೂಕಗಳಿಂದಾದ ಬಲಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾಂತರ ಬಲಗಳ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ ಬಲವು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ತೂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಈ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ ಬಲವು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವುದು. ಅದನ್ನೇ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಚುಕ್ಕಿ(Centroid)^[೨]

ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾದ ವೃತ್ತ,ತ್ರಿಕೋನ,ಚತುರ್ಭುಜ ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಕೇವಲ ೨-ಆಯಾಮಗಳಾದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಸಪಾಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳು ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವುದು.ಇಂತಹ 2-ಆಯಾಮದ ಸಪಾಟಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಡುಚುಕ್ಕಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಚುಕ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಒಂದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಕೆಲವು ವಿಜ್ಞಾನ ಲೇಖಕರು ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವೆಂದೂ ಇಲ್ಲವೇ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಡುಚುಕ್ಕಿಯೆಂದೂ ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ.

ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು^[೩]

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆ ವಿಧಾನ.
ಮೊಮೆಂಟ್‍(Moment)ಗಳ ವಿಧಾನ.
ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನವು ಬಹಳ ಕ್ಲಿಷ್ಠ ಹಾಗೂ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೇವಲ ಶೈಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.ಹೀಗಾಗಿ ಇನ್ನುಳಿದ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆ ವಿಧಾನ

ವೃತ್ತದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕ, ಆಯತಾಕಾರದ ಹಾಗೂ ಚೌಕೋನದ ಕರ್ಣಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೋ ಅಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ.ಅದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಮೀಡಿಯನ್‍ಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೋ ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ.
ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ ${\frac {h}{3}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಅರ್ಧಗೋಳದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ ${\frac {3r}{8}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಗೋಳದ ತುಂಡಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವು h ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ${\frac {3}{4}}{\frac {(2r-h)^{2}}{(3r-h)}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಅದರ ಬುಡದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ${\frac {4r}{3\pi }}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
'ವಿಷಮ ಚತುರ್ಭುಜ (ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ)ದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ ${\frac {2}{3}}{\frac {(b+2a)}{(b+a)}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಘನಾಕೃತಿಯ ಅಳತೆಯು L ಆಗಿದ್ದರೆ,ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಪ್ರತಿ ಮುಖದಿಂದ ${\frac {L}{2}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸವು d ಆಗಿದ್ದರೆ,ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ${\frac {d}{2}}\!$ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತ.
ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರ.
ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು.
ಅರ್ಧಗೋಳ.
ಗೋಳದ ತುಂಡು.
ಅರ್ಧವೃತ್ತ.
ವಿಷಮ ಚತುರ್ಭುಜ (ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ).

ಮೊಮೆಂಟ್‍(Moment)ಗಳ ವಿಧಾನ.

ಮೊಮೆಂಟ್‍ಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ "M" ಆಗಿರಲಿ.ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವದಿಂದಾಗಿ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ "g" ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ತೂಕ "Mg" ಎಂದಾಗುವುದು. ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಮನಾದ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಭಾಗ ಮಾಡಿ.ಅವುಗಳ ತೂಕ m₁g₁, m₂g₂, m₃g₃............,ಇತ್ಯಾದಿ., ಆಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು (X₁, Y₁), (X₂, Y₂), (X₃,Y₃)..............,ಇತ್ಯಾದಿಗಳು., ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು "o" ನಿಂದ ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರಗಳ ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಇಡಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ "G"' ಆಗಿದ್ದರೆ, ${\bar {X}}$ ಮತ್ತು ${\bar {Y}}$ ಗಳು "o" ನಿಂದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ "G" ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಯಾಗಿರಲಿ.
ಮೊಮೆಂಟ್‍ಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ,

               Mg  ${\bar {X}}$  =  m₁gX₁ + m₂gX₂ + m₃gX₃............,

               Mg  ${\bar {X}}$  = g( m₁X₁ + m₂X₂ + m₃X₃............,)

               M  ${\bar {X}}$  =  m₁X₁ + m₂X₂ + m₃X₃............,

                M  ${\bar {X}}$  =  $\sum mx$

        ಆದರೆ,   M = m₁ + m₂ + m₃............ =    $\sum m$

ಆದುದರಿಂದ,         ${\bar {X}}$  =  ${\frac {\sum mx}{\sum m}}\!$

ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ,      ${\bar {Y}}$  =  ${\frac {\sum my}{\sum m}}\!$

ಆಕರ ಅಕ್ಷಗಳು

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಆಕರ ಅಕ್ಷಗಳು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ${\bar {Y}}$ ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳ ಭಾಗದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, ${\bar {X}}$ ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಎಡ ಭಾಗದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ^[೪]

ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳು (T-ಬಿಲ್ಲೆ(Section), L-ಬಿಲ್ಲೆ, I-ಬಿಲ್ಲೆ)  2-ಆಯಾಮದವುಗಳಾಗಿದ್ದು ಸಪಾಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಥವಾ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.ಅವುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವುದು. ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಡುಚುಕ್ಕಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು "ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರ" ಎಂದೂ ಸಹ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಹಾಗೂ ನಡುಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಪದಗಳನ್ನಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು "A" ಆಗಿರಲಿ.ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಭಾಗ ಮಾಡಿ.ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು a₁, a₂, a₃............,ಇತ್ಯಾದಿ., ಆಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು (X₁, Y₁), (X₂, Y₂), (X₃,Y₃)..............,ಇತ್ಯಾದಿಗಳು., ಆಕರ ಅಕ್ಷ "Y-Y" ನಿಂದ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರಗಳ ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಇಡಿ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುಚುಕ್ಕಿ' "G" ಆಗಿದ್ದರೆ, ${\bar {X}}$ ಮತ್ತು ${\bar {Y}}$ ಗಳು ಆಕರ ಅಕ್ಷ "Y-Y ಮತ್ತು X-X" ನಿಂದ ನಡುಚುಕ್ಕಿ "G" ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಯಾಗಿರಲಿ.
ಮೊಮೆಂಟ್‍ಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ,

               A  ${\bar {X}}$  =  a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃............,

                A  ${\bar {X}}$  =  $\sum ax$

        ಆದರೆ,   A = a₁ + a₂ + a₃............ =    $\sum a$

ಆದುದರಿಂದ,         ${\bar {X}}$  =  ${\frac {\sum ax}{\sum a}}\!$

ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ,      ${\bar {Y}}$  =  ${\frac {\sum ay}{\sum a}}\!$

ನೆನಪಿಡಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು^[೫]

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿ(Positions)ಗಳಿಗೂ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುವುದು.
ಒಂದು ವಸ್ತು X-X ಅಥವಾ Y-Y ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು "ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತಾ ಅಕ್ಷ"ದ ಮೇಲಿರುವುದು.
ಒಂದು ವಸ್ತು X-X ಮತ್ತು Y-Y ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅವೆರಡು "ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತಾ ಅಕ್ಷ"ಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವುದು
ಒಂದು ವಸ್ತು X-X ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೇವಲ ${\bar {X}}$ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.ಏಕೆಂದರೆ ${\bar {Y}}$ = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವಸ್ತು Y-Y ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೇವಲ ${\bar {Y}}$ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.ಏಕೆಂದರೆ ${\bar {X}}$ = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವಸ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ${\bar {X}}$ ಮತ್ತು ${\bar {Y}}$ ಗಳೆರಡನ್ನೂ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಹೊರ ಕೊಂಡಿಗಳು

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Strength Of Materials - By S.Ramamrutham and R.Narayan , ISBN 81-87433-54-X
↑ A Text Book Of Strength Of Materials - By Dr. R.K.Bansal. ISBN 978-81-318-0814-6.
↑ A Text Book Of Strength Of Materials - By R.S.Khurmi. ISBN 81-219-2822-2
↑ A Text Book Of Engineering Mechanics - By R.S.Khurmi. ISBN 81-219-0651-2
↑ ನಿತಿನ್‍ ಹೆಗ್ಡೆಯವರ ಉಪನ್ಯಾಸಕ ಅನುಭವ

[1] Strength Of Materials - By S.Ramamrutham and R.Narayan , ISBN 81-87433-54-X

[2] A Text Book Of Strength Of Materials - By Dr. R.K.Bansal. ISBN 978-81-318-0814-6.

[3] A Text Book Of Strength Of Materials - By R.S.Khurmi. ISBN 81-219-2822-2

[4] A Text Book Of Engineering Mechanics - By R.S.Khurmi. ISBN 81-219-0651-2

[5] ನಿತಿನ್‍ ಹೆಗ್ಡೆಯವರ ಉಪನ್ಯಾಸಕ ಅನುಭವ

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]