ಗಣಿತಾನುಮಿತಿ

ಗಣಿತಾನುಮಿತಿ ಎನ್ನುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕ್ರಮವಿಧಿಗೆ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಒದಗಿಸುವ ಗಣಿತ ವಿಧಾನ (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್). ಜಾನ್‌ ಸ್ಟೂವರ್ಟ್ ಮಿಲ್ ಎಂಬಾತನ ಪ್ರಕಾರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಅನ್ವೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥನೆ ಮಾಡುವ ಪರಿಕರ್ಮವೇ ಅನುಮಿತಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಒಂದು ನಿಯಮ ಈ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲುವ ಇತರ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗಬೇಕೆಂದು ಊಹಿಸುವ ಬುದ್ಧಿಯ ಕಾರ್ಯವೇ ಅನುಮಿತಿ ಎನ್ನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಈ ತತ್ತ್ವದ ಆಧುನಿಕ ಔಪಚಾರಿಕ ನಿರೂಪಣೆಯು ಕೇವಲ ೧೯ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್,^[೩] ಆಗಸ್ಟಸ್ ಡಿ ಮಾರ್ಗನ್, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಡರ್ಸ್ ಪರ್ಸ್,^[೪]^[೫] ಜುಸೆಪೆ ಪಿಯಾನೊ, ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡಿಕಿಂಟ್‍ರೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿತು.^[೬]

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

B = {1, 3, 5, 7, 9, ... ... ... } ಎಂಬ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (odd numbers) ಗಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1 =1² ಮೊದಲನೆಯ ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತ

1 + 3 = 4 = 2² ಮೊದಲ ಎರಡು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

1 + 3 + 5 = 9 = 3² ಮೊದಲ ಮೂರು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

ಅಂದ ಬಳಿಕ ಮೊದಲ ಐದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 5² = 25 ಆದೀತು ಎಂದು ಮನಸ್ಸು ಸಂದೇಹಿಸುವುದು. ಇವನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದು ತಾಳೆ ಮಾಡಬಹುದು. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, ನಿಜ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಈ ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ n² ಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದ ನಿರೂಪಣೆಗೆ ಸ್ಫೂರ್ತಿಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ, S(n) = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n - 1) = n². ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು n = 1, 2, 3 ಮುಂತಾದ ಎಷ್ಟೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತಾಳೆ ನೋಡಿದರೂ ಇದನ್ನು n ನ ಎಲ್ಲ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ n ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ, ಅದು ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ, ಈ ಸೂತ್ರ ಸುಳ್ಳಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕುವಂತಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

P(n) = 2²ⁿ + 1 ಎಂಬ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ

n = 1 ಆದಾಗ P(1) = 2^2.1+ 1 = 4+1 = 5

n = 2 ಆದಾಗ P(2) = 2^2.2 + 1 = 16+1 = 17

n = 4 ಆದಾಗ P(4) = 2^2.4 + 1 = 256+1 = 257

n = 8 ಆದಾಗ P(8) = 2^2.8 + 1 = 65536+1 = 65537

P(n) ನಲ್ಲಿ 1, 2, 4, 8, ಮುಂತಾದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಬರುವ 5, 17, 257, 65537 ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೇ (ಪ್ರೈಮ್ಸ್). ಈಗ P(1), P(2), P(4), P(8) ಎಲ್ಲವೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವುದರಿಂದ P(n) = 2²ⁿ + 1 ಎಂಬ ಸೂತ್ರ n ನ ಎಲ್ಲ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಬಹುದು ಎಂದು ಫರ್ಮಾ (1601 - 1665) ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಊಹಿಸಿದ. ಆದರೆ n = 16 ಆದಾಗ P(16) = 2³² + 1 = 4294967297. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 4294967297 = 641 x 6700417. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಫರ್ಮಾನ ಊಹೆ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

P(n) = 991.n² + 1 ಆಗಿರಲಿ.

n = 1 ಆದಾಗ P(1) = 991.1² + 1 = 992

n = 2 ಆದಾಗ P(2) = 991.2² + 1 = 3965

n = 3 ಆದಾಗ P(3) = 991.3² + 1 = 8920

ಈಗ 992, 3965, 8920 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗ ಅಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ P(n) = 991n² + 1 ಸೂತ್ರ n ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗೆ ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಕೊಡುವುದೆಂದು ಊಹಿಸಿದರೆ ಅದು ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ n = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767 ಆದಾಗ P(n) ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಹಲವೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತರಾಗಿ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸಿದರೂ ಅವು ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸತ್ಯವಾಗಿರುವವೆಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಬಹಳ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ಮೇಲಿನ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯುವುದು. n ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಲಕ್ಷಣ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಮಾತ್ರಕ್ಕೆ n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಈ ಲಕ್ಷಣ ಅನ್ವಯಿಸಿಯೇ ತೀರುವುದೆಂದು ಹೇಳುವುದು ತಪ್ಪಾಗುವುದು. ಅಂದಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸುವುದೇ ತಪ್ಪು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗದು. ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಇರುವಿಕೆಯ ಸೂಚನೆ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಮೊದಮೊದಲು ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ತಿಳಿಯಿತು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಇಂಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮಹತ್ತ್ವವಾದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಆದರೆ ಹೀಗೆ ಊಹಿಸಿದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ n = 1, 2, 3, .... ಮುಂತಾದ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗುವುದರ ಜೊತೆಗೆ n ನ ಎಲ್ಲ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಅಗತ್ಯವುಂಟು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಊಹಿಸಿದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಅದು n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿದಾಗ ಸಹಜವಾಗಿಯೇ ಉದ್ಭವವಾಗುವ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ......n, n+1....... ಇವುಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪಿಯಾನೋ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇವುಗಳ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಮೂರು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳ ಮತ್ತು ಐದು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿದ.

1, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಪದ - ಇವೇ ಆ ಮೂರು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಶಬ್ದಗಳು. (ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದರ್ಥ) ಪಿಯಾನೋ ಮಂಡಿಸಿದ ಐದು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆದಿದೆ.

ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 1: 1 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ^[೭]
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 2: 1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ತರ ಪದವೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 3: 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಉತ್ತರ ಪದವಲ್ಲ.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 4: ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ತರ ಪದಗಳೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಆಗಿರುವವು.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 5: ಒಂದು ಲಕ್ಷಣ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ಅದನ್ನು ಉತ್ತರ ಪದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಅದೇ ಲಕ್ಷಣ 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಾರೆ ಆ ಲಕ್ಷಣ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದು.

ಐದನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗೆ ಗಣಿತಾನುಮಿತಿ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು N ಗಣ ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರತೀಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ:

ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 1: 1 ∈ N; ಎಂದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದ N ಶೂನ್ಯಗಣವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಂಟು.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 2: x ∈ N ಆಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ ಅದರ ಉತ್ತರಪದವೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ x' ∈ N ಇದ್ದೇ ಇರುವುದು.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 3: x' ≠ 1, x' ∈ N ಎಂದರೆ 1 ಎಂಬುದು ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಉತ್ತರಪದವಲ್ಲ.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 4: x' = y' ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ x = y. ಇದರ ಅರ್ಥ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ತರಪದಗಳೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ.
ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 5: p ಎಂಬ ಒಂದು ಲಕ್ಷಣ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ M ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ (a) 1 ∈ M ಆಗಿದ್ದು (b) x ∈ M ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ x' ∈ M ಆಗಿದ್ದರೆ M = N ಆಗುವುದು.

ಒಂದನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ 1 ಎಂಬುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದ N ನಲ್ಲಿದೆ. 1 ರ ಉತ್ತರ ಪದ 2 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲಿ. 2 ರ ಉತ್ತರ ಪದ 3 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲಿ. ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದೆ ಸಾಗುತ್ತ ಹೋದಾಗ ಬರುವ n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ತರ ಪದ n+1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತೀಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ 1' = 2, 2' = 3, .... n' = n+ 1. 1 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಅದರ ಉತ್ತರ ಪದ 2, ಅದರ ಉತ್ತರ ಪದ 3 ಹೀಗೆಯೇ ಸಾಗುತ್ತ ಮುಂದೆ ಹೋದರೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವವಾಗುವುದೇ ವಿನಾ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು ಸಾರಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ತರ ಪದವೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೂರನೇ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ತರ ಪದಗಳೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು ಸಾರಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂರನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಉತ್ತರ ಪದವಲ್ಲ. ಎಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದೇ ಮೊದಲನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ ಐದನೆಯ ಆದ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

(a) 1 ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿದೆ

(b) n ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಈ ಗಣದಲ್ಲಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲ ಅದರ ಉತ್ತರ ಪದವಾದ n+1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಈ ಗಣದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಇರುತ್ತವೆ.

∴ N = {1, 2, 3, ...... n, n+1, ........}

ಈಗ ಪಿಯಾನೋ ಐದನೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಿರಪಡಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಈ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಹಂತ: ಸೂತ್ರ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ಅದರ ಉತ್ತರಪದ n+1 ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ನಿಜವೆಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು.

ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ (ಉತ್ತರಪದಕ್ಕೂ) ನಿಜವಾಗುವುದೆಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ (b) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ತರವಾದ ತಾರ್ಕಿಕಶಕ್ತಿ ಅಡಗಿದೆ ಎನ್ನಬಹುದು. (b) ಹಂತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಬಳಿಕ (a) ಹಂತವನ್ನು ಜೊತೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೆಂದು ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. (a) ಹಂತದ ಪ್ರಕಾರ n=1 ಆದಾಗ ಸೂತ್ರ ನಿಜ. (b) ಹಂತದ ಪ್ರಕಾರ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ n+1 ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ನಿಜ. 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಉತ್ತರಪದ 2 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ನಿಜ. 2 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಉತ್ತರಪದವಾದ 3 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ನಿಜ. ಹೀಗೆಯೇ ವಾದ ಮಾಡುತ್ತ ಹೋದರೆ, n=1,2,3,..........n, n+1 ಎಂಬ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾಗಿರುವುದೆಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತಾಗುವುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಾನುಮಿತಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು

1. ಒಂದನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ n² ಕ್ಕೆ ಸಮ.

ಅಥವಾ

S(n) = 1+3+5+.....+ (2n-1) = n²

ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿದೆವು. ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ n ನ ಎಲ್ಲ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವುದೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಿರಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಗಣಿತಾನುಮಿತಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

(a) ಮೊದಲನೆಯ ಹಂತ: S(n) =1+3+5+....+(2n -1) = n²

n=1 ಆದಾಗ S(1) = 1 = 1²

∴ n = 1 ಆದಾಗ ಸೂತ್ರ ನಿಜ.

(b) ಎರಡನೆಯ ಹಂತ: S(n) = 1+3+5+....+ (2n-1) = n² ಎಂಬ ಸೂತ್ರ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ಈಗ S(n+1) = ಮೊದಲನೆಯ n+1 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ = (n+1)² ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಸೂತ್ರ n ಗೆ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ n+1 ಕ್ಕೂ ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಿದಂತಾಗುವುದು.

n ನೆಯ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ = 2n -1

∴ (n+1) ನೆಯ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ = 2n -1+ 2 =2n+1

∴ S(n+1) = {1+3+5+......+ (2n -1)}+ (2n+1)

=S(n)+ (2n+ 1)

= n²+2n+1, ∴ S(n) = n²

=(n+1)²

ಆದ್ದರಿಂದ S(n) ಸೂತ್ರ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ n+1 ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ನಿಜ. ಆದರೆ n=1 ಆದಾಗ ಸೂತ್ರ ನಿಜವೆಂದು (a) ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 1+1 =2 ಕ್ಕೆ ಸಹ ಸೂತ್ರ ನಿಜ. 2 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಉತ್ತರಪದ 2+1 = 3 ಕ್ಕೆ ನಿಜ. ಹೀಗೆಯೇ ವಾದ ಮಾಡುತ್ತ ಹೋದರೆ

S(n) = 1+ 3+ 5+ .....+ 2n -1) = n²

ಎಂಬ ಸೂತ್ರ n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ನಿಜವೆಂದು ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (a) ಮತ್ತು (b) ಎಂಬ ಎರಡು ಹಂತಗಳಿಗೂ ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾಧಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಆ ಸೂತ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಎಂದೆನ್ನಿಸುವುದು. ಇವೆರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಗದಿದ್ದರೂ ಸೂತ್ರದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ ಏರ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ.

2. ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, P(n) = 2²ⁿ + 1 ಎಂಬುದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣ n = 1 ಆದಾಗ ನಿಜವಾದ್ದರಿಂದ (a) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾದಂತಾಯಿತು. P(n) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ P(n+1) ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ (b) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ P(n) ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ.

3. ಮೂರನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ. P(n) = 991n² + 1 ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ, ಎಂಬುದು n=1 ಆದಾಗ ನಿಜ. ಎಂದರೆ (a) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾದಂತಾಯಿತು. P(n) ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ P(n+1) ಕೂಡ ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಂದರೆ (b) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ P(n) = 991n² + 1 ಒಂದು ವರ್ಗವಲ್ಲ ಎಂಬ ಉಕ್ತಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವಲ್ಲ.

4. ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯ (b) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಗಿ (a) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಕೂಡ ಸೂತ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಲಾರದು. ಒಂದು ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂಬ ಉಕ್ತಿ. n ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ಅದರ ಉತ್ತರಪದ n+1 ಆಗುವುದು. ಪ್ರತೀಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದು

n = n+1 …(1)

ಎಂದಾಗುವುದು. (1) ರ ಎರಡು ಕಡೆಗೂ 1 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ

n + 1 = (n+1)+ 1 …(2)

ಎಂದಾಗುವುದು. (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ ಈ ಸೂತ್ರ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ (n+1) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ ನಿಜವಾಗುವುದೆಂದು ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. ಎಂದರೆ ಅನುಮಿತಿಯ (b) ಹಂತ ಸಾಧಿತವಾಯಿತು.

ಈಗ n = n + 1 …(1)

ಈ ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ n = 1 ಆದಾಗ 1 = 1+ 1, ಅಥವಾ 1 = 2 ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದು ಸರಿಯಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ (a) ಹಂತ ಸಾಧಿತ ವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ n = n + 1 ಎಂಬ ಉಕ್ತಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವಲ್ಲ.

5. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೂತ್ರ 1,2,3,.........p-1 ಈ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೂ (a) ಹಂತದಲ್ಲಿ n = p ಆದಾಗ ಸೂತ್ರ ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಿ, ಬಳಿಕ (b) ಹಂತದಲ್ಲಿ n ಗೆ ಸೂತ್ರ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ n+1 ಕ್ಕೂ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಸೂತ್ರ p ಯಿಂದ ಮುಂದೆ ಬರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೆಲ್ಲಕ್ಕೂ (p ಯನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿ) ನಿಜವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಗುವುದು.

n ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳೆಲ್ಲ n≥3 ಆದಾಗ ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ; ಎಂದರೆ n = 3,4,5,,..... ಆದಾಗ ನಿಜ. ಏಕೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದರೆ ತ್ರಿಭುಜ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Matt DeVos, Mathematical Induction, Simon Fraser University
↑ Gerardo con Diaz, Mathematical Induction Archived 2 May 2013 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ., Harvard University
↑ "It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity n which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. 1st. The theorem is proved to be true when n = 1. 2ndly. It is proved that if the theorem is true when n is a given whole number, it will be true if n is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued sorites" (Boole c. 1849 Elementary Treatise on Logic not mathematical pp. 40–41 reprinted in Grattan-Guinness, Ivor and Bornet, Gérard (1997), George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy, Birkhäuser Verlag, Berlin, ISBN 3-7643-5456-9)
↑ Peirce 1881.
↑ Shields 1997.
↑ Cajori (1918), p. 197: 'The process of reasoning called "Mathematical Induction" has had several independent origins. It has been traced back to the Swiss Jakob (James) Bernoulli, the Frenchman B. Pascal and P. Fermat, and the Italian F. Maurolycus. [...] By reading a little between the lines one can find traces of mathematical induction still earlier, in the writings of the Hindus and the Greeks, as, for instance, in the "cyclic method" of Bhaskara, and in Euclid's proof that the number of primes is infinite.'
↑ Peano 1889, p. 1.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

Peano, Giuseppe (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita [The principles of arithmetic, presented by a new method]. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations. Fratres Bocca. pp. 83–97.
Peirce, Charles Sanders (1881). "On the Logic of Number". American Journal of Mathematics. 4 (1–4): 85–95. doi:10.2307/2369151. JSTOR 2369151. MR 1507856. Reprinted (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
Shields, Paul (1997). "Peirce's Axiomatization of Arithmetic". In Houser, Nathan; Roberts, Don D.; Evra, James Van (eds.). Studies in the Logic of Charles S. Peirce. Indiana University Press. pp. 43–52. ISBN 0-253-33020-3. MR 1720827.
Cajori, Florian (1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"". The American Mathematical Monthly. 25 (5): 197–201. doi:10.2307/2972638. JSTOR 2972638.

[1] Matt DeVos, Mathematical Induction, Simon Fraser University

[2] Gerardo con Diaz, Mathematical Induction Archived 2 May 2013 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ., Harvard University

[3] "It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity n which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. 1st. The theorem is proved to be true when n = 1. 2ndly. It is proved that if the theorem is true when n is a given whole number, it will be true if n is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued sorites" (Boole c. 1849 Elementary Treatise on Logic not mathematical pp. 40–41 reprinted in Grattan-Guinness, Ivor and Bornet, Gérard (1997), George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy, Birkhäuser Verlag, Berlin, ISBN 3-7643-5456-9)

[FOOTNOTEPeirce1881-4] Peirce 1881.

[FOOTNOTEShields1997-5] Shields 1997.

[Induction_Bussey-6] Cajori (1918), p. 197: 'The process of reasoning called "Mathematical Induction" has had several independent origins. It has been traced back to the Swiss Jakob (James) Bernoulli, the Frenchman B. Pascal and P. Fermat, and the Italian F. Maurolycus. [...] By reading a little between the lines one can find traces of mathematical induction still earlier, in the writings of the Hindus and the Greeks, as, for instance, in the "cyclic method" of Bhaskara, and in Euclid's proof that the number of primes is infinite.'

[FOOTNOTEPeano18891-7] Peano 1889, p. 1.

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]