ಪರಿಕರ್ಮ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪರಿಕರ್ಮ ಎಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದಾನ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಇವನ್ನು ಪರಿಕರ್ಮ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮಂಟ್‍‍ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದು ಸುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಕರ್ಮ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಕರ್ಮದ ಆ್ಯರಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು:

• +, ಪ್ಲಸ್ (ಸಂಕಲನ)
• −, ಮೈನಸ್ (ವ್ಯವಕಲನ)
• ÷, ಆಬೆಲಸ್ (ಭಾಗಾಕಾರ)
• ×, ಟೈಮ್ಸ್ (ಗುಣಾಕಾರ)

ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು (ಬೈನರಿ ಆಪರೇಷನ್ಸ್)

p ಒಂದು ಗಣವೂ f: (pxp) → p ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ f ನ್ನು p ಮೆಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ಈಗ α: (N x N) → N ನ್ನು (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ) α(m,n) = (m + n), (m,n ∈ N) ಎಂದರೆ m ಗೆ n ನ್ನು ಸಂಕಲನ ಮಾಡಿದರೆ ಬರುವ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ α ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮ. ಇದನ್ನೇ N ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಸಾಧಾರಣ ಸಂಕಲನವೆನ್ನುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ ೨: ಹೀಗೆಯೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು β: (N x N) → N ನ್ನು β(m,n) = (m x n) ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ದೃಢವಸ್ತು (ರಿಜಿಡ್ ಬಾಡಿ) ಒಂದು ಅಕ್ಷದ (axis) ಸುತ್ತಲೂ ಆವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಆರಂಭ ಸಮತಲವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಆವರ್ತನೆಗಳನ್ನು (ರೊಟೇಷನ್ಸ್) ಈ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಂಡಿದ್ದು ಅದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲ β ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಸಮತಲ α ದೊಂದಿಗೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈಗ ρ₁ ಮತ್ತು ρ₂ ಗಳು θ₁ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ θ₂ ಕೋನಗಳಷ್ಟು ಆವರ್ತಿಸುವಂಥ ಆವರ್ತನೆಗಳಾದರೆ ρ₁ ρ₂ ಎಂದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಮೊದಲು ρ₁ ಆವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ತರುವಾಯ ρ₂ ಆವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು θ₁ + θ₂ ಎಂಬ ಅಳತೆಯ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ρ₁ ಮತ್ತು ρ₂ ಗಳು ಎರಡು ಆವರ್ತನೆಗಳಾದರೆ ρ₁ ρ₂ ಸಹ ಒಂದು ಆವರ್ತನೆಯೇ, ρ₁ ಮತ್ತು ρ₂ ಗಳಿಂದ ρ₁ ρ₂ ನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಆವರ್ತನೆಗಳ ಗಣದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಒಂದು ಬಗೆಯ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕರ್ಮಕ್ಕೆ ಆವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಹೀಗೆ ಒಂದು ಗಣದ ಎರಡು ಧಾತುಗಳಿಂದ ಹೊರಟು ಅವನ್ನು ಯಾವುದೋ ಒಂದು ರೀತಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಗಣದ ಒಂದು ಧಾತು ದೊರಕುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಅನೇಕ ಕಡೆ ಕಾಣಸಿಕ್ಕುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಅಮೂರ್ತರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಒಂದು ಬಗೆಯ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶವೇ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1