ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ
ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ ಎನ್ನುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಧ್ಯಯನ (ತಿಯರಿ ಆಫ್ ನಂಬರ್ಸ್). ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಇದು 0 ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು (negative integers) ಕೂಡ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೆಯದು ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿದರೆ b ಯನ್ನು a ಯ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ (factor), a ಯನ್ನು b ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ: 20 ರ ಅಪವರ್ತನ 5 ಮತ್ತು 5 ರ ಅಪವರ್ತ್ಯ 200. ಅಪವರ್ತನಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದೂ,[೧][೨] 1 ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊರತು ಬೇರೆ ಅಪವರ್ತನಗಳಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದೂ ಹೆಸರು. 2 ರ ಮುಂದಿನ ಎಲ್ಲ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (even numbers) ವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, 49, 111, 625 ಮುಂತಾದವು ಕೂಡ ವಿಭಾಜ್ಯಗಳೇ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ಮುಂತಾದವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಶೋಧನೆಗೆ ಎರಟಾಸ್ಥೆನೀಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 276-ಸು 196) ಒಂದು ವಿನೂತನ ವಿಧಾನ ಸೂಚಿಸಿದ. n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವುವು? 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆದು ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅದರ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನೂ ಹೊಡೆದು ಹಾಕಬೇಕು. n ವರೆಗಿನ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಗಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ ‘ಗಟ್ಟಿಕಾಳು’ಗಳೆಲ್ಲವೂ ಆ ಪರಿಮಿತಿ ಒಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.[೩] ಉದಾಹರಣೆ n=50 ಆಗಿರಲಿ.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50
ಆದ್ದರಿಂದ 1-50 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವು: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ‘ಸೋಸು’ವ ಈ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಎರಟಾಸ್ಥೆನೀಸನ ಜರಡಿ ಅಥವಾ ಒಂದರಿ ಎಂದು ಹೆಸರು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತ. ಅಲ್ಲದೇ ಅವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮುನ್ನುಡಿಯಬಲ್ಲ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಉದಾ: 1097 ನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯಾವುದು? ಮೊದಲ 1000 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು? ದತ್ತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆಯೇ? ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧಸೂತ್ರ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. “ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂಬುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಹೇಳಬಹುದಾದ ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನೂ ಮೀರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ” ಎಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 300ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದವ). ಆತನೇ ಇದಕ್ಕೊಂದು ಸರಳ ಸುಂದರ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ: ನಾವು ಊಹಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ n ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ n! + 1 = p ಎಂಬ ನೂತನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. p ಯನ್ನು n ವರೆಗಿನ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೂ 1 ಶೇಷ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪ್ರಕಾರ p ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಇದು ವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ n ಗಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ.[೪] ಉದಾ: n=7 ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ p =7! + 1 = 5041. ಇದು 71x71 ಕ್ಕೆ ಸಮ!
1 ಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ, ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಿತಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ (1822-1900) ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. 1852 ರಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೆವ್ (1821-94) ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ.[೫] ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು? ಇದಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೆಸರು. ಖಚಿತ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲ.
ಇದಕ್ಕೆ ಸೆಲ್‌ಬರ್ಗ್ (1917-2007) ಮತ್ತು ಏರ್ಡಿಶ್ (1913-96, Erdos) ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.
4n +1 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಉದಾ: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53 ಇತ್ಯಾದಿ. ಇಂಥವು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಫರ್ಮಾ (1601-65, Fermat) ಸಾಧಿಸಿದ.[೬] ಉದಾ. 41=42+ 52, 53 = 22 + 72, 73 = 32 + 82 ಇತ್ಯಾದಿ.
n ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (n-1)! + 1 ಸಂಖ್ಯೆ n ನಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದು. ಇದು ವಿಲ್ಸನ್ (1741-93) ಪ್ರಮೇಯ.[೭] ಉದಾಹರಣೆ n=11 ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಆಗ (n-1)!+1 = 10!+1=3628801. ಇದು 11 ರ ಅಪವರ್ತ್ಯ.
ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ
ಬದಲಾಯಿಸಿxn + yn =zn ಎಂಬ ಡಯಾಫ್ಯಾಂಟೈನ್ (ಅಂದರೆ ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n>2 ಆದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. n=1 ಆದಾಗ ಅಂತೆಯೇ 2 ಆದಾಗ ಅನಂತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. 32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದರೆ x3 + y3 = z3, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನವಕ್ಕೆ? ಪಿಯರೆ ಡ ಫರ್ಮಾ (1601-65) ತಾನು ಈ ಡಯೊಪ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲವೆಂಬುದಕ್ಕೊಂದು ಅದ್ಭುತ ಸಾಧನೆ ಶೋಧಿಸಿದ್ದೇನೆ (1637 ರ ಅಂದಾಜು) ಎಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿಸಿದ್ದ.[೮][೯][೧೦] ಟಿಪ್ಪಣಿ ಪುಸ್ತಕದ ಆ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲದ್ದರಿಂದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿರಲಿಲ್ಲ.[೧೧][೧೨] ತರುವಾಯದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು. ಆತ ಕಂಡಿರಬಹುದಾದ ಸಾಧನೆಯ ಶೋಧನೆಯತ್ತ ಅಸಂಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಕೋವಿದರಿಗೆ ಇದು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ನೀಡಿತು. 1993 ರ ತನಕ n ನ ಬೆಲೆ 3 ರಿಂದ 25,000 ದ ವರೆಗಿದ್ದಾಗ xn + yn =zn, ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಮಾಡಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ (1953) ಎಂಬ ಹತ್ತರ ಹರೆಯದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತನ್ನ ಶಾಲೆಯ ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನ ಓದಿದ (1963ರ ಅಂದಾಜು). ಗಣಿತ ಪ್ರಚಂಡನಾದ ಈತ ಈ ಅಸಾಧಿತ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಅರಸುವುದೇ ತನ್ನ ಬಾಳಿನ ಏಕೈಕ ಗುರಿ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆ ಮುಂದುವರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸುಗಳಿಸಿದ ಕೂಡ. 1993 ಜೂನ್ 26ರಂದು ಇದು ಪ್ರಪಂಚ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು.
ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಅಪರಿಪೂರ್ಣ ಪ್ರಪಂಚ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಕುರಿತಂತೆ 1 ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರೆ ಅಪವರ್ತನ ಅಥವಾ ಭಾಜಕಗಳಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳೆಂದು (proper divisors) ಹೆಸರು.
ಉದಾ: 18 ರ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳು 1, 2, 3, 6, 9; 23 ರ ಸಹಜ ಭಾಜಕ 1 ಮಾತ್ರ. ಈಗ, ಈ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಮೂರು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ಬರೆದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಮೂರು 8128; 33,550,336; 8,559,869,056. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವೇಷಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 4ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಸೀಮಿತ ಸೂತ್ರವೊಂದನ್ನು ನೀಡಿದ್ದ: 2n-1, ಉಕ್ತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ 2n-1(2n-1), ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಲರ್ (1707-83) ಈ ಉಕ್ತಿಗೆ ಸಾಧನೆ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. ಗಣಕಗಳು ಮಾಡಿರುವ ಶೋಧನೆ ಪ್ರಕಾರ (1998) ಮೂವತ್ತೇಳನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 23021376 (23021377-1). ಇದರಲ್ಲಿ 1,819,050 ಅಂಕಗಳಿವೆ!
ಉಪಸಂಹಾರ
ಬದಲಾಯಿಸಿಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಸುಲಭ. ಇವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಅತಿಕಠಿಣ. ನಿದರ್ಶನಾರ್ಥ ಗೋಲ್ಡ್‌ಬಾಕ್ (1690-1764) ಎಂಬಾತ ಮಂಡಿಸಿದ ಊಹೆ: ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ. ಉದಾ. 40 ಒಂದು ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ. 40=17+23. ಅಂತೆಯೇ 100=3+97. ಈ ಊಹೆಗೆ ಸಾಧನೆ 1988 ರ ತನಕ ದೊರೆತಿರಲಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ಊಹೆ: p ಮತ್ತು p+2 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾ: 3, 5; 11, 13; 17, 19; ಇತ್ಯಾದಿ. ಸದ್ಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತಿಬೃಹತ್ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 1,000,000,009,649 ಮತ್ತು 1,000,000,009,651.
ಇ.ಟಿ.ಬೆಲ್ (1883-1960) ಎಂಬ ಗಣಿತ ಚರಿತ್ರಕಾರ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ, “ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತವೇ ಕೊನೆಯ ಬೃಹತ್ ‘ಅನಾಗರಿಕ’ ಭೂಖಂಡ. ಅತ್ಯಂತ ಫಲವಂತವಾಗಿರುವ, ಆದರೆ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಯೋಗಕ್ಷೇಮ ಕುರಿತಂತೆ ತೀರ ಉದಾಸೀನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಸರ್ಕಾರದ ಸುಳುಹು ಕೂಡ ಇಲ್ಲದಿರುವ ದೇಶಗಳಾಗಿ ಇದು ಒಡೆದು ಹೋಗಿದೆ. ನವಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವೊಂದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಯಾವನೇ ಯುವಕ ಅಲೆಗ್ಸಾಂಡರ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 356-323) ಕಾತರನಾಗಿ ತಹತಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ಅವನಿಗೊಂದು ಹೊಸ ಸವಾಲು. ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಡೇಕಾರ್ಟೇ (1591-1661) ಇನ್ನೂ ಬಂದಿಲ್ಲ. ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727) ಅಂತೂ ಹೇಗೂ ಬಂದೇ ಇಲ್ಲವಷ್ಟೆ!” ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚ ಇನ್ನೂ ಅಪರಿಪೂರ್ಣವೇ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.
ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿಯ ಅನ್ವೇಷಣೆಗೆ ಕೊನೆಯೇ ಇಲ್ಲ. “ಭಗವಂತ ಮಾನವನನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ, ಮಾನವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಜ್ಞಿಸಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನನ್ನೇ ಅಳೆದ!” ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ಅಕ್ಷರಶಃ ನಿಜ.
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿ- ↑ Pettofrezzo & Byrkit 1970, pp. 23–24.
- ↑ Long 1972, p. 16.
- ↑ Horsley, Rev. Samuel, F. R. S., "Κόσκινον Ερατοσθένους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an account of his method of finding all the Prime Numbers," Philosophical Transactions (1683–1775), Vol. 62. (1772), pp. 327–347.
- ↑ Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Rourke, C. (2014-11-01). Further Pure Mathematics (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Nelson Thornes. p. 168. ISBN 9780859501033.
- ↑ Tchebychev, P. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers." (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, Série 1 (in ಫ್ರೆಂಚ್): 366–390. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Tchebychev, P. (1854), "Mémoire sur les nombres premiers.", Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (in ಫ್ರೆಂಚ್), 7: 15–33
- ↑ Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.
- ↑ The Universal Book of Mathematics. David Darling, p. 350.
- ↑ Dickson 1919, p. 731
- ↑ Singh, pp. 60–62
- ↑ Aczel 1996, p. 9
- ↑ T. Heath, Diophantus of Alexandria Second Edition, Cambridge University Press, 1910, reprinted by Dover, NY, 1964, pp. 144–145
- ↑ Manin & Panchishkin 2007, p. 341
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿ- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- Dickson, LE (1919). History of the Theory of Numbers. Diophantine Analysis. Vol. II. New York: Chelsea Publishing. pp. 545–550, 615–621, 688–691, 731–776.
- Singh, S (1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.
- Aczel, Amir (1996). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-56858-077-7.
- Manin, Yuri Ivanovic; Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). "Fundamental problems, Ideas and Theories". Introduction to Modern Number Theory. Encyclopedia of Mathematical Sciences. Vol. 49 (2nd ed.). Berlin Hedelberg: Springer. ISBN 978-3-540-20364-3.
