ಮಾನ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು

ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ R ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 0 ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ.

R ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ A, B ಬಿಂದುಗಳು a, b ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ a ≤ b ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಂತರ: ಈಗ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ಎಂಬ R ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ a-b ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು [a,b] ಅಥವಾ (a, b) ಅಂತರದ ಅಥವಾ AB ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು b-a = I [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ b-a = 0. ಇಲ್ಲಿ [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ 0 ಎಂದಾಯಿತು.

ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು

S ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು [a, b], (a, b), [a,b) ಅಥವಾ (a, b] ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ (b-a) ಯು S ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ S ಗಣ I₁ = [a, b] ಮತ್ತು I₂ = [c, d] ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು I₁ ಮತ್ತು I₂ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ S = I₁ ∪ I₂ ಮತ್ತು I₁ ∩ I₂ = ϕ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ S ನ ಉದ್ದ I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I₁) + I(I₂) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ a,b,c,d ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a<c<b<d ಆಗಿದ್ದರೆ S = I₁ ∪ I₂ = {x∈ R | a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a < (b-a) + (d-c) = l(I₁) + l(I₂). ಹೀಗಾಗಿ S ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. S = I₁ ∪ I₂ ಆದಾಗ l(S) ≤ l(I₁) + l(I₂) ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.

S ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x,y ∈ S ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ S ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ S ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ l(S) = ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ = 0 + 0 + …… = 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ

ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: I = {x ∈ R | a < x < b} ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ l(I) = b-a ≠ 0. I ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I₁ ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I₂ ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ I = I₁ ∪ I₂, I₁ ∩ I₂ = ϕ ಹಾಗೂ I₁ ಮತ್ತು I₂ ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ∴ l(I₁)=0=l(I₂). ಆದರೆ b – a = l(I) = l(I₁) + l(I₂) = 0 + 0 = 0. ಇದು b-a ≠ 0 ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ ಮಾನ (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ.

ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್)

A ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ A ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ S ಮತ್ತು T ಗಳಿಗೂ S ∪ T ∈ A ಮತ್ತು S – T ∈ A ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ A ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ A ಯ ಎಲ್ಲ {A₁, A₂, A₃,……………} ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ ಸಹ A ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in A$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

R ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು $-\infty$ ಹಾಗೂ $+\infty$ ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ $R=R\cup \{-\infty ,+\infty \}$ ಎಂಬ R ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ${\bar {R}}$ ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.

a ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

f: A → R ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

$\forall A,B\in A,A\cap B=\phi$ ಎಂದರೆ A, B ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ f(A ∪ B) ≤ f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ $\forall A,B\in A,A\cap B=\phi$, f(A ∪ B) = f(A) + f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).

A ಯಲ್ಲಿ {A_n}, n=1,2,3,……. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ i ≠ j ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ A_i ∩ A_j = ϕ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ $f\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }f(A_{n})$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ = ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು (countably additive set function).

ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು

$f:A\to {\bar {R}}$ ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ

(i) f(ϕ) = 0

(ii) A₁, A₂, …………A_n ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ f(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪. . . . ∪ A_n) = f(A₁) + f(A₂) + ……. + f(A_n)

(iii) f ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ A ⊂ B ಆದರೆ f(A) ≤ f(B). ಇದರಿಂದ f(A-B) = f(A) – f(B) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $f(B)<\infty$ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.

(iv) f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, {A_n} ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ A₁ ⊂ A₂ ⊂ A₃…………⊂ A_n ಮತ್ತು $A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ $f(A_{n})\to f(A),n\to \infty$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ

Rⁿ ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು x = (x₁, x₂, ……….., x_n) ರೂಪದಲ್ಲಿ n ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ x₁, x₂, ……….., x_n ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. a_i ≤ b_i, i = 1, 2,…….n ಇವು ದತ್ತ 2n ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a_i ≤ x_i ≤ b_i, i = 1,2…………..n ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು x = (x₁, x₂, ……….., x_n) ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ Rⁿ ನ ಉಪಗಣವನ್ನು Rⁿ ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ≤ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ < ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. Rⁿ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ I = { (x₁,………….,x_n) | a_i ≤ x_i ≤ b_i} ಆದರೆ m(I) = (b₁-a₁)(b₂-a₂)………(b_n-a_n) = $\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\ *$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ a_j = b_j ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ 0 ≤ m(I) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ b_j ಯು $+\infty$ ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ $m(l)=\infty$ ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ $0\leq m(l)\leq +\infty$ ಎಂದರೆ m(I) ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ A ಯು Rⁿ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ A = I₁ ∪ I₂ ∪ . . . . ∪ I_k ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(A)= m(I₁) + m(I₂) +……….. + m(I_k)     . . . . * * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ A = J₁ ∪ J₂ ∪ . . . . ∪ J_s ಎಂಬುದಾಗಿ A ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(I₁) + m(I₂) +……….. + m(I_k) = m(J₁) + m(J₂) +……….. + m(J_s)

ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● * ನಲ್ಲಿ m(A) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈಗ ξ ಯು Rⁿ ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ A,B ಗಳು ξ ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ m ಎಂಬುದು ξ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:

(1) 0 ≤ m(A) ≤ $+\infty ,\forall A\in \xi$  

(2) m ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ $\forall A\in \xi ,A\cap B=\phi$ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m(A ∪ B) = m(A) + m(B). ಇದರಿಂದ S,T ∈  ξ ಆದರೆ m(S ∪ T) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್)

Rⁿ ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ S ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ξ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ A₁, A₂, A₃, …………….. ಗಳು S ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ $S\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ

$m\bullet (S)=glb\sum _{n=1}^{\infty }m(A)$ ...$\left(\oint \right)$

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ glb ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound). S ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ Σm(A_n) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ m•(S). ಇದನ್ನು S ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:

(I) m•(S) ≥ 0, ∀(S) ⊂ Rⁿ

(II) S₁ ⊂ S₂ ⊂ Rⁿ

ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m•(S1) ≤ m•(S2)

(III) $S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n},S_{n}\subset R^{n}$ ಆದರೆ $m\bullet (S)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m\bullet (S_{n})$

ಎಂದರೆ m• ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.

(IV) ∀A ∈ ξ   ಎಂದರೆ A ಮೂಲಗಣವಾದರೆ m•(A)=m(A). ಹೀಗಾಗಿ m• ಎಂಬುದು ξ ನಿಂದ Rⁿ ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.

ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: A ಯು Rⁿ ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು {A_n}, n=1, 2, 3,………. ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ $A_{n}\to A,n\to \infty$ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

Rⁿ ನ ಯಾವಗಣ S ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ S₁, S₂, S₃…….. ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ $S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ S ನ್ನು ಮಾಪನೀಯ ಗಣ (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. Rⁿ ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು M ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ A,B ∈ M ಆದರೆ m• ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

(1) m• : M → R ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

(2) m• A ≥ 0

(3) m• (A ∪ B)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B) ಅರ್ಥಾತ್ m• ಸಂಕಲನೀಯ.

(4) m• : M → R ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ A₁,A₂,A₃………… ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ $m\bullet \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }m\bullet A_{i}$. ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ m• ಎನ್ನುವುದು ξ ನಿಂದ M ಗೆ m ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. M ನ ಗಣಗಳಿಗೆ m• ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ m• ನ್ನು M ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು Rⁿ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ $m:M\to {\bar {R}}$ ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ

(1) n=1 ಆದರೆ l = {x | a ≤ x ≤ b} ಯು R¹ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ m(I) = (b-a) ಯು I ನ ಉದ್ದ.

(2) n=2 ಆದರೆ I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ಯು R² ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ m(I) = (b-a)(d-c) ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.

(3) n=3 ಆದರೆ I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f} ಎಂಬುದು R³ ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, m(I) = (b-a)(d-c)(f-e) ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Tutorial: Measure Theory for Dummies