ಮಾತೃಕೆಗಳು

೧೮ ಮತ್ತು ೧೯ ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ಇವು ಗಣಿತದ ಬಹು ಶಕ್ತಿಯುತ ಭಾಗ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮತ್ತು ತುಂಬ ದಟ್ಟವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿದೆ. ಇದರಿಂದ ಪಡೆದ ಗಣಿತೀಯ ಶೀಘ್ರಲಿಪಿಯು ತುಂಬ ನಾಜೂಕು ಹಾಗು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರ, ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಒಂದು m × n ಮಾತೃಕೆ: m ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳು ಅಡ್ಡಡ್ಡವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು n ನೀಟಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಮಾತೃಕೆಯ ಪ್ರತಿ ಧಾತುವನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಎರಡು ಉಪಲೇಖಗಳಿರುವ ಒಂದು ಚರದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a_2,1 ಮಾತೃಕೆಯ ಎರಡನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

x ಮತ್ತು y ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ;

• 3x-2y=4............(೧)
• 2x+5y=9............(೨)

ಚರಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸದೇ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿ ವರ್ಜಿಸುವ (ಗಾಸಿಯನ್ ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುವ) ವಿಧಾನದಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (೨, ೧) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮಾತೃಕೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇತಿಹಾಸ

ಏಕಕಾಲಿಕ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮುದಾಯವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಂದಲೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ (coordinates) ಒಂದು ಗಣವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಗಣಕ್ಕೆ ಸರಳ ಪರಿವರ್ತನದಿಂದ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಂದಲೂ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ (ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಮಾತೃಕೆಗಳ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್) ಕಲ್ಪನೆ ಮೂಡಿ ಅವುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೆಳೆಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವಂತೆ x, y, z ಗಳಿಗೆ ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕಮಾತ್ರ ಬೆಲೆಗಳಿರುತ್ತವೆ? ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು? ಈ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತ n ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು n ಅಜ್ಞಾತಗಳಿಗಾಗಿ ಬಿಡಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತೀಕಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಉತ್ತರಗಳು ಅಂದವಿಲ್ಲದ ರೂಪಗಳನ್ನು ತಳೆಯುತ್ತವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಈ ಉಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಗಳು ಹೊರಬೀಳುವುದಿಲ್ಲ ಕೂಡ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿ ಈ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನ ಸೃಷ್ಟಿಯಾಯಿತು. ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತ m ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ n (m≠n) ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಿರ್ಧಾರಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿ ಬಂದು, ಈ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಮಾತೃಕೆ ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಅಂಕುರಿಸಿತು. ಇದರಂತೆಯೇ m ಚರಗಳಾದ y₁, y₂, . . . . . y_m ಗಳನ್ನು n ಚರಗಳಾದ x₁, x₂, . . . . . x_n ಗಳ ಸರಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಭಾವನೆ ಮೂಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಅಳವಡುವಂತೆ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ (ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಇತ್ಯಾದಿ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು) ಬೆಳೆದುಬಂತು.

ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಬಳಕೆ ಲಾಪ್ಲಾಸನ (1749-1827) ಕಾಲಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹಿಂದಿನಿಂದ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಮಾತೃಕೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಈಚಿನವು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿ (1821-95), ಜೆ.ಜೆ.ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಇವರನ್ನು ಈ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಯ ಸ್ಥಾಪಕರೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಣೆಗಾಗಿ "ಮಾತೃಕೆ" (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಎಂಬ ಪದವು ೧೮೫೦ ರಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಜೋಸೆಫ಼್ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್‌ರವರಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು. "ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್" ಎಂಬುದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವೊಂದು ರಚಿತವಾಗುವ ಅಥವಾ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕೂಡ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

a_ij, i = 1, 2, . . . . , m; j = 1, 2, . . . . . ..n ಎಂಬ m, n ಧಾತುಗಳನ್ನು m ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳೂ (rows) n ನೀಟಸಾಲುಗಳೂ (columns) ಇರುವ

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\cdots &\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

ಒಂದು ಆವರಣದೊಳಗೆ ಇಟ್ಟು ಈ ಧಾತುಗಣವನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು m X n ಮಾತೃಕೆ ಅಥವಾ (m,n) ಮಾತೃಕೆ ಎಂದು ಬರೆದು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ನೀಟಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ದುಂಡು ಆವರಣಕ್ಕೆ ಬದಲು [  ] ಎಂಬ ಚೌಕಳಿ ಆವರಣವನ್ನೂ, ||  || ಎಂಬ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದುಂಟು. ಮೇಲಣ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ||a_ij|| ಅಥವಾ (a_ij) ಅಥವಾ [a_ij] ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷೇಪ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದುಂಟು.

ಉದಾಹರಣೆ

ಮೊದಲಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದತ್ತಾತ್ರೇಯನು ೧೦ ಪೆನ್ನು ಹಾಗು ೧೮ ಪೆನ್ಸಿಲ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೊಣ, ಅದನ್ನು (೧೦ , ೧೮) ಎಂದು ಬರೆಯೊಣ. ದತ್ತಾತ್ರೇಯನ ಗೆಳೆಯ ಧನುಶ್‍ನ ಹತ್ತಿರ ೮ ಪೆನ್ನುಗಳು ಹಾಗು ೬ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲುಗಳು ಇವೆ ಎಂದಾದರೆ ಅದನ್ನು (೮ , ೬) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ ಇದನ್ನು ಮಾತೃಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದಾದರೆ;

• 10 18
• 8 6

ಈಗ ಸ್ವಾತಿಯ ಬಳಿ ೧೪ ಪೆನ್ನು ಹಾಗು ೫ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಗಳು ಇದ್ದವಾದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು

${\begin{bmatrix}10&18\\8&6\\14&5\end{bmatrix}}$

ಹೀಗೆ ಮಾತೃಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆ

m = n ಆದಾಗ ಆ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. m = 1 ಆದಾಗ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲು ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅಡ್ಡ ಮಾತೃಕೆ (row matrix) ಎನ್ನುತ್ತ [a₁, a₂,……….a_n] ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಒಂದೇ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲು ಇದ್ದಾಗ ${\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}$ ಎಂಬ ನೀಟ ಮಾತೃಕೆ (column matrix) ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೌಕಳಿ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ ಮೇಲಿರುವ ಧಾತುಗಳ ಹೊರತು ಉಳಿದವೆಲ್ಲ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಕರ್ಣ ಮಾತೃಕೆ (ಡಯಾಗೊನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕರ್ಣ ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ ಧಾತುಗಳೆಲ್ಲ 1 ಆದರೆ ಅದು ಏಕಮಾನ ಮಾತೃಕೆ (ಯೂನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್). ಮಾತೃಕೆಯ ಎಲ್ಲ ಧಾತುಗಳೂ 0 ಆದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯಮಾತೃಕೆ (ಜ಼ೀರೊ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್).

ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳಾಗಿಯೂ ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಾಗಿಯೂ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ ಒದಗುವ ಮಾತೃಕೆಗೆ ಮೊದಲಿನ ಮಾತೃಕೆಯ ಪರಿವರ್ತ (ಟ್ರಾನ್‌ಸ್ಪೋಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. m X n ಮಾತೃಕೆಯ ಪರಿವರ್ತ n X m ಮಾತೃಕೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿನ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು A ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಅದರ ಪರಿವರ್ತವನ್ನು A' (ಕೆಲವರು A' ಅಥವಾ A^T ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (A')' = A ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

ಚೌಕಳಿ ಕೋಶ A = (a_ij) ದಲ್ಲಿ a_ij=a_ji ಆದರೆ ಅದು ಸಮಾಂಗಕೋಶ. ಸಮಾಂಗಕೋಶದಲ್ಲಿ A' = A. a_ij=-a_ji ಆದರೆ ಅದು ವಿಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ ಧಾತುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯ.

ಧಾತುಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. a,b ವಾಸ್ತವವಾದರೆ a + ib ಮತ್ತು a – ib ಪರಸ್ಪರ ಅನುವರ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆ z ನ ಅನುವರ್ತಿಯನ್ನು ${\bar {z}}$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ ಆದಾಗ A = [a_ij] ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮಾತೃಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ ಮೇಲಣ ಧಾತುಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. A ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆದರೆ ${\overline {A'}}=A$.

ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆ A ಯಲ್ಲಿ ಚಿiರಿ = -ಚಿರಿi ಆದರೆ ಮಾತೃಕೆ ಮಿಹರ್ಮಿಟಿಯನ್. ಇದರ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ ಧಾತುಗಳು ಶುದ್ಧ ಊಹ್ಯಸಂಖ್ಯೆಗಳು (pure imaginary numbers). ಇಲ್ಲವೇ ಸೊನ್ನೆ.

ಯಾವುದೇ ಮಾತೃಕೆ ಕೆಲವು ಧಾತುಗಳನ್ನು ಖಚಿತ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಒಂದು ಗಣ ಮಾತ್ರ. ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವೊಂದು ಬೆಲೆಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅದೇ ಧಾತುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಧಾರಕವೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಾತೃಕೆಯ ನಿರ್ಧಾರಕವೆಂದು ಹೆಸರು. A ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಯಾದರೆ ಅದರ ನಿರ್ಧಾರಕ |A| . |A₁|=|A| ಎಂದೂ |A|=|A| ಎಂದೂ ಸ್ಪಷ್ಟ. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮಾತೃಕೆಯ ನಿರ್ಧಾರಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಬೀಜೀಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು

ಸಂಕಲನ: [a_ij], [b_ij] ಎರಡೂ ಒಂದೇ ತರಹ ಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ, ಎರಡೂ m X n ಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ [a_ij + b_ij] ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ದತ್ತಮಾತೃಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ (sum) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕಲನಕ್ರಿಯೆ ಒಂದೇ ತರಹ ಮಾತೃಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ.

ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ: A = [a_ij] ಆದರೆ [Ka_ij] ಮಾತೃಕೆಯನ್ನೆ KA ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ K ಯಾವುದೇ ಅದಿಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. K = -1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ –A ಮಾತೃಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು A-B ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು A+(-B) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕಲನಕ್ರಿಯೆ ಸಹವರ್ತನೆ, ಪರಿವರ್ತನೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಎಂದರೆ (A+B)+C = A+(B+C). A+B=B+A.

ಗುಣಾಕಾರ: A=[a_ij] ಒಂದು m X n ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿಯೂ B=[b_jk] ಒಂದು n X p ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿಯೂ ಇರಲಿ, ಎಂದರೆ A ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿಯ ನೀಟಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ B ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿಯ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ. ಈಗ

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\ b_{jk}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots +a_{in}b_{nk}$(i = 1,2,………………….n; k = 1,2, ………p) ಎಂದಾದರೆ C=[c_ik] ಮಾತೃಕೆ A, B ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ. A ಯ ಒಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಧಾತುಗಳನ್ನು B ಯ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನ ಧಾತುಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಕೂಡುವುದರಿಂದ C ಯ ಒಂದು ಧಾತು ಒದಗುತ್ತದೆ. C ಮಾತೃಕೆ m X p ಮಾತೃಕೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

A, B ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಿದ್ದರೆ B, A ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. B, A ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಿರಬೇಕಾದರೆ p = m ಆಗಬೇಕು. A, B ಎರಡೂ ಒಂದೇ ತರದ, ಎಂದರೆ ಎರಡೂ n X n ಆಗಿರುವ ಚೌಕುಳಿ ಮಾತೈಕೆಗಳಿಗೆ AB ಮತ್ತು BA ಎರಡೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ A, B ಸಮಾಂಗಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ ಮಾತ್ರ AB=BA. ಅಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆಗಳಿಗೆ AB ≠ BA ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದು.

A,B,C ಎಲ್ಲವೂ n ದಜೆಯ ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ (AB)C =A(BC) ಎಂಬ ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತನ ನಿಯಮವೂ, A(B+C) = AB+AC ಮತ್ತು (A+B)C = AC+BC ಎಂಬ ವಿಭಜನ ನಿಯಮಗಳೂ ನಿಜವಿರುತ್ತವೆ.

AA ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು A² ಎಂದೂ AAA ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು A³ ಎಂದೂ ಇತ್ಯಾದಿ, ಒಂದು ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಯ ಘಾತಗಳನ್ನು (powers) ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. m,n ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದರೆ A^m.Aⁿ = A^m+n ಮತ್ತು (A^m)ⁿ = A^mn ಎಂಬ ಘಾತನಿಯಮಗಳು ನಿಜವಿರುತ್ತವೆ. A,B ಎರಡು n X n ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ |AB| = |A|.|B| ಎಂಬ ನಿಯಮ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಏರ್ಪಡುತ್ತದೆ. A,B ಮಾತೃಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ m X n ಮತ್ತು n X p ಮಾತೃಕೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (AB)' =B'A' ಎಂಬ ಪ್ರತಿವರ್ತಿಕೋಶಗಳ ನಿಯಮವಿರುತ್ತದೆ. A, B, C ಮುಂತಾದವು n ದರ್ಜೆಯ ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಗಳಾದರೆ (ABC……)' =……..C'B'A'

ಮಾತೃಕಾ ಬಹುಪದಿಗಳು

A₀, A₁, …….Am ಎಲ್ಲವೂ n ದರ್ಜೆಯ ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಗಳಾಗಿದ್ದು A_m ಶೂನ್ಯ ಮಾತೃಕೆ ಅಲ್ಲದಿರಲಿ.

f(x) = A₀+A₁x+A₂x²+…..+A_mx^m

ಎಂಬುದು m ದರ್ಜೆಯ ಮಾತೃಕಾ ಬಹುಪದಿ. ಇದರಲ್ಲಿ n ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಿವೆ. x ಅಜ್ಞಾತಪದ. ಇದು ಆದಿಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿರಬಹುದು.

g(x) = A₀+A₁x+……..+A_kx^k

h(x) = B₀+B₁x+……..+B_mx^m

ಎಂಬ ಕೋಶ ಬಹುಪದಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು k ≤ m ಆದಾಗ

g(x) + h(x) = (A₀+B₀)+(A₁+B₁)x+………+(A_k+B_k)x^k+B_k+1x^k+1+…..+B_mx^m

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. k ≥ m ಆದಾಗ, ಇದರಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು

g(x) . h(x) = A₀B₀+(A₀B₁+A₁B₀)x+(A₀B₂+A₁B₁+A₂B₀)x²+……..+A_kB_mx^k+m

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆವರಣಗಳೊಳಗಿನ ಪದಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಕೂಡದು.

x ಗೆ ಬೆಲೆಯಾಗಿ C ಎಂಬ n ದರ್ಜೆಯ ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ, g(x) ಬಹುಪದಿಯ ಬೆಲೆಯೆಷ್ಟು ಎಂಬುದು ತೊಡಕಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ Ax² ದ ಬೆಲೆ AC² ಅಥವಾ C²A ಅಥವಾ CAC ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗೆ g(C) ಗೆ ಹಲವಾರು ಬೆಲೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಬಲಬೆಲೆ g_r(C) ಮತ್ತು ಎಡ ಬೆಲೆ g_l(C) ಎರಡು ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯ:

g_r(C) = A₀+A₁C+A₂C²+…..+A_kC^k

g_l(C) = A₀+CA₁+C²A₂+……+C^kA_k

g(x)+h(x) = l(x) ಎಂದು ಕರೆದರೆ

g_r(C)+h_r(C) = l_r(C) ಮತ್ತು g_l(C)+h_l(C) = l_l(C) ಎಂಬುದು ಸ್ಟಷ್ಟ. ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ತೊಡಕು ತಲೆದೋರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

g(x) = A₀ + A₁x, h(x) = B₀ + B₁x ಆಗಿದ್ದರೆ

g_r(C) = A₀ + A₁C,  h_r(C) = B₀ + B₁C

∴ g_r(C).h_r(C) = A₀B₀ + A₀B₁C + A₁CB₀ + A₁CB₁C

ಆದರೆ m(x) = g(x).h(x) = A₀B₀ + (A₀B₁ + A₁B₀)x + A₁B₁x²

∴ m_r(C) = A₀B₀ + (A₀B₁ + A₁B₀)C + A₁B₁C²

ಆದ್ದರಿಂದ m_r(C) = g_r(C).h_r(C) ನಿಜವಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ

g(x) = A₀+A₁x+……..+A_mx^m ಎಂಬುದು n ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳುಳ್ಳ ಮಾತೃಕಾ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ, C ಯು n ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಚೌಕಳಿ ಮಾತೃಕೆಯಾದರೆ g(x) = h(x).(C-xI)+R ಆಗುವಂತೆ h(x) = B₀+B₁x+……+B_m-1x^m-1 ಎಂಬ 'ಭಾಗಲಬ್ಧ'ವೂ, R ಎಂಬ ಶೇಷವೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು n ದರ್ಜೆಯ ಏಕಮಾನ ಮಾತೃಕೆ.

ಸಾಧನೆ: A₀+A₁x+…….+A_mx^m = (B₀C+R)+(B₁C-B₀)x+(B₂C-B₁)x²…….+(B_m-1C-B_m-2)x^m-1–B_m-1x^m ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ ಸಮಘಾತಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುವ m+1 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ B_m-1, B_m-2,…………B₀, R ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. R ನ ಬೆಲೆ g_r(C) ಎಂದರೆ R = A₀+A₁C+A₂C²+………+A_mC^m ಆಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆಯೇ g(x) = (C-xI)K(x)+L ಆಗುವಂತೆ K(x) ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನೂ, L ಶೇಷವನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು L=g_l(C).

ಆದ್ದರಿಂದ g_r(C)=0 ಆದರೆ C-xI ಎಂಬುದು C(x) ನ ಬಲ ಅಪವರ್ತನ, g_l(C)=0 ಆದರೆ C-xI ಎಡ ಅಪವರ್ತನ (factor).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ

• "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kaw, Autar K. (September 2008), Introduction to Matrix Algebra, Lulu.com, ISBN 978-0-615-25126-4
• The Matrix Cookbook (PDF), retrieved 24 March 2014
• Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, archived from the original on 16 ಡಿಸೆಂಬರ್ 2008, retrieved 10 Dec 2008

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• MacTutor: Matrices and determinants
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors