ಗ್ರೂಪ್

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದರೆ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಗಣ. ಇದರ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಈ ಗಣದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನು ಈ ಗಣದ ಧಾತುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯುಗ್ಮಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಪರಿಕರ್ಮವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ: ಈ ಪರಿಕರ್ಮವು ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಾದಾತ್ಮ್ಯ ಧಾತುವಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತುವು ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಧಾತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ರೂಬಿಕ್‍ನ ಕ್ಯೂಬ್‍ನ ಕೈಚಳಕಗಳು ರೂಬಿಕ್ ಘನದ ಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಅನ್ವಯಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮುಂತಾದ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು, ಆವರ್ತನೆಗಳು, ಸರಳಚಲನೆಗಳು, ವಿಕ್ಷೇಪಗಳು (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಸ್), ವಿಕಸನಗಳು (ಡೈಲೆಟೇಷನ್ಸ್), ಸ್ಪರ್ಶ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುವುದು ನಿತ್ಯ ಕರ್ತವ್ಯ. ಒಂದು ದತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಎಂದರೆ ಒಂದು ಗಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದೋ ಎರಡೋ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಮತ್ತು ಆ ಗಣದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಗಳು-ಇವುಗಳ ಒಂದು ಸಮಾಹಾರ) ಮೇಲೆ ಒಂದರ ತರುವಾಯ ಮತ್ತೊಂದರಂತೆ ಹಲವಾರು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸರ್ವೇಸಾಧಾರಣ. ಈ ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಒಂದೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೂ, ಅದರ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಧಾತುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜನೆ ಹೊಂದುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ದೃಷ್ಟಿಸಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಗೌಣವಾದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪ್ರಮುಖವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಾಮ್ಯ ಎದ್ದು ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅವುಗಳಿಗೂ ಅವುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಧಾತು ಮತ್ತು ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗೂ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕೇವಲ ನಾಮವಿಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದು ಇವೆಲ್ಲವುಗಳಲ್ಲೂ ಅಂತರ್ಗಾಮಿಯಾಗಿ ಪ್ರವಹಿಸುವ ಹಲವು ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಏಕರೂಪೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ತೆರನಾದ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಾಮಮಾತ್ರದಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಏಕೈಕತ್ವವನ್ನು ಪಡೆದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಈ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಗ್ರೂಪುಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.