ಅತ್ಯಾಕಾಶಗಳು
ಅತ್ಯಾಕಾಶಗಳು ಮನುಜರ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಕಾಣುವ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ (ಸ್ಪೇಸ್) ಮೂರು ಪರಿಮಾಣಗಳಿವೆ (ಡೈಮೆನ್‍ಷನ್ಸ್). ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಕೋನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳಿಗೂ ಸಮಕೋನದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ನಾಲ್ಕನೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಈ ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಇವುಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದೊಂದು ಹೆಜ್ಜೆಗೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಟ್ಟರೆ, ಎಂಬ ಮೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳು ಒಂದರ ಹಿಂದೆ ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ಹೋಗಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಬಹುದು.
ತಳ ಮತ್ತು ಜೋಡಣೆ
ಬದಲಾಯಿಸಿಮೂಲಬಿಂದು ಯಿಂದ ಹೊರಟು ರಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಸದಿಶರಾಶಿ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಬ ಬಿಂದು ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಬಿಂದುಸಮೂಹ ಒಂದು ತಳವಾಗಿ (ಪ್ಲೇನ್) ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ತಳಗಳ ಛೇದನ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಣೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು.
ವಿವಿಧ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪೀಯ ಆಕಾಶ
ಬದಲಾಯಿಸಿಮೂರು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಧಗಳುಂಟು. ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವೆಂದು ತಿಳಿದು, ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಿಗಿರುವ ದೂರ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ಆಕಾಶ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಕಾಶ (ತ್ರೀ ಡೈಮನ್‍ಷನಲ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಆಕಾಶವನ್ನು ಗೋಳಗಳು ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಅವುಗಳಿಂದ ಲಭಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೂ ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವುಂಟು. ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದಾಗಿ ಭಾವಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಲಭಿಸುವ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪೀಯ ಆಕಾಶ (ತ್ರೀ ಡೈಮೆನ್‍ಷನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು, ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳವುದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣುಗಳ ಆಕಾಶದ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಕೂಡದು. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಂಬ ಬಿಂದುವೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಬ ಆಕಾಶಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಆಕಾಶಕ್ಕೂ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಿದರೆ, ಆಕಾಶದ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿವೆಯೆಂತಲೂ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಅಧಿಕವಾಗಿರುವುದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಎಂಬುವೇ ಈ ಬಿಂದುಗಳು. ಇವು ಎಂಬ ತಳದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಅನಂತವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅನಂತ-ತಳವನ್ನು (ಪ್ಲೇನ್ ಎಟ್ ಇನ್‍ಫಿನಿಟಿ) ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಆಕಾಶ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಾಣವಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಅದಿಶಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಮತಳಾಕಾಶ
ಬದಲಾಯಿಸಿಪ್ರತ್ಯಕ್ಷ ಅನುಭವವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಗಣಿತರೀತ್ಯ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಬಿಂದುಯಿಂದ ಹೊರಟು, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಸದಿಶರಾಶಿಯ ರೂಪ ಎಂದು ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿರುವ ಎಂಬುದು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಕೋನದಲ್ಲಿರುವ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಮಾನ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು (ಯೂನಿಟ್ ಸ್ಟೆಪ್ಸ್) ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ (ಫೀಲ್ಡ್) ಸೇರಿದ್ದಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ವಿಭಾಗ (ಶೂನ್ಯಭಾಜಕಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದಿರಬಾರದೆಂಬುದು ಒಂದು ನಿಬಂಧನೆ) - ಈ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಟ್ಟು ಲಬ್ಧವಾದ ಫಲವೂ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕು. ವಾಸ್ತವಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ ಎರಡು ಸದಿರಾಶಿಗಳ ಅದಿಶಗುಣಾಕಾರ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್) ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲ ಅಕ್ಷಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸದಿಶರಾಶಿಯ ಉದ್ದ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ. ನ ಪರಿಮಾಣ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಎನ್ನುವುದುಸದಿಶರಾಶಿಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆದರೆ,ಸಮಕೋನ (ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಲಂಬವಾಗಿರುವ) ಸದಿಶರಾಶಿಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸದಿಶರಾಶಿಗೆ ಸಮಕೋನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸದಿಶರಾಶಿಗಳೂ ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಾಕಾಶವನ್ನು (ಫ್ಲಾಟ್‍ಸ್ಪೇಸ್) ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ.
ಸಮತಳಾಕಾಶದ ದ್ವಿತ್ವ
ಬದಲಾಯಿಸಿಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (ಇವೆಲ್ಲವೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆ ಇರುತ್ತದೆ) ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಿಂದು ಎಂಬ ಬಿಂದುವೇ ಹೊರತು ಬೇರೆಯಲ್ಲ. ಈ ಬಿಂದು ಎಲ್ಲವೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು) ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವುದಾದರೆ, ಎಂಬ ಬಿಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮತಳಾಕಾಶದ ದ್ವಿತ್ವ (ಡ್ಯುಯಲಿಟಿ) ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ. ಎರಡು ಸಮತಳಾಕಾಶಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಒಂದು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಮತಳಾಕಾಶ. ಮತ್ತು ಸಮತಳಾಕಾಶದ ಛೇದನವೇ ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಾಕಾಶ.
ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಾಕಾಸ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಾಕಾಶವನ್ನು, ಆದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಆದರೆ ಇವುಗಳ ಛೇದನಾಕಾಶ ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸಮತಳಾಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖಾಕಾಶ, ವರ್ತುಳಾಕಾಶ
ಬದಲಾಯಿಸಿಒಂದು ತಳವನ್ನು ಬಿಂದು ಸಮೂಹವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಅದು ಎರಡು ಪರಿಮಾಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಸಮೂಹಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಅದೇ ತಳ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವಾಗುವುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿನ ಗಳನ್ನು ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಾಗಿ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ತಳವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತ ಸಮೂಹವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಆ ತಳ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಳವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಶಂಕುಜಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಐದು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಶ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವೇ ರೇಖಾಸಮೂಹದ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಎಂಬ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು. ಎಂದು ಬರೆದರೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಎಂಬುವು ಐದು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಕಾಶದ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಐದು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಆದರೆ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಗೋಳಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅದು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶ, ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಆಕಾಶ: ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣ ಆಕಾಶ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಉಪಯೋಗಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಹೊರಿಸುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಾರ್ಹವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅಭಿಸರಣಶ್ರೇಣಿಯಾದರೆ (ಕನ್ವರ್‍ಜೆಂಟ್ ಸೀರೀಸ್)[೧] ಅದರ ಒಟ್ಟು ಬೆಲೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸದಿಶರಾಶಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಂಬ ಎರಡು ಅಭಿಸರಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಎರಡು ಸದಿಶರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಅದಿಶ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವರ್ಗ ಸಮಾಸೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇಂಟೆಗ್ರಬಲ್), ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣದ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅದೊಂದು ಸದಿಶರಾಶಿ ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ಎರಡು ಸದಿಶರಾಶಿಗಳ ಅದಿಶಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ನ ಉದ್ದ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣದ ಸದಿಶರಾಶಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸದಿಶರಾಶಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪರಿಕರ್ಮಿಗೆ (ಆಪರೇಟರ್) ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೊಡಬಹುದು. ಇಂಥವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳ ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣದ ಆಕಾಶದ ವ್ಯಾಪಾರಗಳು, ಅನ್ವಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್) ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಂ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತಿವೆ.