ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ): ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
Content deleted Content added
Chandanv89 (ಚರ್ಚೆ | ಕಾಣಿಕೆಗಳು) No edit summary |
Chandanv89 (ಚರ್ಚೆ | ಕಾಣಿಕೆಗಳು) No edit summary |
||
೨೩೦ ನೇ ಸಾಲು:
<math>T_1,T_2,T_3,T_4,...</math> ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ,
ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, <math>r=\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}=\frac{T_4}{T_3}=...=\frac{T_n}{T_{n-1}}</math>
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ <math>a</math> ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು <math>r</math> ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು <math>a, ar, ar^2, ar^3, ar^4,...,ar^{n-1}</math> ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
'''ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:'''
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: <math>T_n=ar^{n-1}</math>
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ <math>r</math> ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು <math>r</math>ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: <math>T_{n+1} = T_n \times r</math>
ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು <math>r</math>ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: <math>T_{n-1} = T_n \div r</math>
=== ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ===
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
<math>1+3+9+27+...</math>
<math>2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...</math>
==== ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ====
ಮೊದಲನೇ ಪದವು <math>a</math> ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ <math>r</math> ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು <math>S_n</math> ಆಗಿರಲಿ.
<math>S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^{n-1}</math>
<math>S_n</math> ಅನ್ನು <math>r</math>ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,
<math>rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +... + ar^{n-1}+ar^{n}</math>
<math>\begin{alignat}{10}
S_n-rS_n & = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^{n-1}
\\ & = \underline{-ar - ar^2 - ar^3 - ar^4 -... - ar^{n-1}-ar^{n}}
\\ & = a + \cancel{ar} + \cancel{ar^2} + \cancel{ar^3} + ... + \cancel{ar^{n-1}}
\\ & = \underline{\cancel{-ar} - \cancel{ar^2} - \cancel{ar^3} - \cancel{ar^4} -... - \cancel{ar^{n-1}}-ar^{n}}
\\ & = a - ar^{n}
\end{alignat}
</math>
<math>\therefore S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \ \ \ \ \ \ \ r\neq1</math>
| |||