ಭ್ರಮಣಾಂಕ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಎಂದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ಼್‍ನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾನಗಳು. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ x ನ ಆವರ್ತಕ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಚರದ r ನೆಯ ಘಾತದ (power) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಹೀಗಿದೆ:

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{r}f(x)dx$; f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ

$\mu '_{r}=E(x^{r})=-\ \infty$ ಮತ್ತು $-\infty <x<\infty$

$\sum _{x}x^{r}f(x)dx^{r}$; f(x) ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ (discontinuous function)

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ f(x) ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (arbitrary number) a ಯನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

$E(x-a)^{r}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-a)^{r}f(x)dx$

ಈ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (a) ಯನ್ನು ಮಧ್ಯಕಕ್ಕೆ (ಮೀನ್) ಸರಿಗಟ್ಟಿದಲ್ಲಿ ಮದ್ಯಕವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ μ_r ಅಥವಾ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

$\mu _{r}=(x-\mu '_{1})^{r}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu '_{1})^{r}f(x)dx$

ಈ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ μ₁, μ₂,........ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು μ₁', μ₂',........ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

μ₁ = 0, μ₂ = μ₂' - (μ₁')²

μ₃ = μ₃' - 3μ₂'μ₁' + 2(μ₁')³

μ₄ = μ₄' - 4μ₃'μ₁' + 6μ₂'(μ₁')² - 3(μ₁')⁴

$\mu _{r}=\mu '_{r}-{}^{r}C_{1}\mu '_{1}\mu '_{r-1}+{}^{r}C_{2}(\mu '_{1})^{2}\mu '_{r-2}-\cdots +(-1)^{r-1}(r-1)(\mu '_{1})^{r}$

μ₁' ಮಧ್ಯಕವೆಂದೂ μ₂ ಕ್ಕೆ ಚಲನೀಯವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವರ್ಗನೆ ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ ಮೊದಲೆರಡು ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ಪಾತ್ರ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಮಿಕ್ಕ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರುಹುವುವಾದರೂ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಅಷ್ಟು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 1

ವಿಷಮತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಮೂರನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ μ₃ ನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಂಥ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ μ₃ = 0 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ μ₃ ಋಣಚಿಹ್ನೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 2 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ f(x) ವಿತರಣೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ μ₃ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಷ್ಟಕ್ಕೂ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಬರೇ μ₃ ರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯ ಚಿತ್ರಾಕೃತಿ ಇದೇ ರೀತಿ ಇದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಲಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ μ₃ = 0 ಆಗಿದ್ದೂ f(x) ವಿತರಣೆ ಚಿತ್ರ 3 ದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಇದೇ μ₃ ≠ 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ f(x) ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಡಾಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2

ಚಿತ್ರ 3

ಶಿಖರತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ μ₄ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಭಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಶಿಖರತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ:

ಶಿಖರತೆ = β₂(μ₄ / μ₂²)

ಇಲ್ಲಿ β₂ = 3 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ f(x) ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮೀಪವಾಗಿರುವುದು.

ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಗೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿ

x ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರ (continuous variable). ಪ್ರತಿಚಯನದಲ್ಲಿರುವ (sample) ಅದರ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು k ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಆವರ್ತಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ f₁, f₂,.......f_k ಎಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು x ಚರದ ವಿಭಾಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x₁, x₂,.......x_k ಎಂದಿರಲಿ.

ಆಗ $\mu _{r}'={\begin{Vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{r}\\\hline \sum \limits _{i=1}^{k}f_{i}\end{Vmatrix}}$

ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಷೆಪರ್ಡನ ತಿದ್ದುಪಡಿ

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ರೀತಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆವಲ್ಲಿ f_i ಆವರ್ತಾಂಕ x_i ಮಧ್ಯಕದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಿಕೃತವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪಂಗಡದ ಅಂತರ h ಜಾಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತ ಹೋದಷ್ಟು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಭಾವನೆ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಷೆಪರ್ಡ್ ಒಂದು ತಿದ್ದುಪಾಟು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕಡೆಯ ಕೊನೆಯ ಆವರ್ತಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಹೀಗಿರುವುದು:

${\begin{aligned}{\hat {\mu }}_{1}&=m_{1}\\{\hat {\mu }}_{2}&=m_{2}-{\frac {1}{12}}h^{2}\\{\hat {\mu }}_{3}&=m_{3}\\{\hat {\mu }}_{4}&=m_{4}-{\frac {1}{2}}m_{2}h^{2}+{\frac {7}{240}}h^{4}.\end{aligned}}$

ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್)

ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತಾದರೆ ಅನುಕೂಲಕರ. ಇಂಥ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು.

x ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ. ಅದರ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಎಂದಿರಲಿ. ಆಗ e^tx ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೆಸರು.

-h² < t <h² ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ t ಗೆ e^tx ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ (ಯಾವುದಾದರೂ h² ಬೆಲೆಗೆ)

$m(t)=E(e^{tx})={\begin{cases}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx,f(x){\text{ is continuous}}\\\sum \limits _{x}e^{tx}f(x),f(x){\text{ is discontinuous}}\end{cases}}$

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿಯೂ f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ದೊರೆವಲ್ಲಿ m(t) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ಅವಕಲನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ m(t) ಯನ್ನು r ಸಲ ಅವಕಲಿಸಿದಲ್ಲಿ

${\frac {d^{r}}{dt^{r}}}m(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{r}e^{tx}f(x)dx$

t = 0 ಆದಲ್ಲಿ, $\left[{\frac {d^{r}}{dt^{r}}}m(t)\right]_{t=0}=E(x^{r})=\mu _{r}'$

ಅಂದರೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನದ r ನೆಯ ಅವಕಲನಕ್ಕೆ t = 0 ಆದಾಗ r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ವಾಸಾನ್ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದೆಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

$f(x)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}},x=0,1,2,\cdots$

$m(t)=E(e^{tx})=\sum _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{t})^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }.e^{\lambda et}$

ಮೊದಲನೆಯ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅವಕಲನಗಳು

m'(t) = e^-λ.λe^te^λet

m'(t) = e^-λ.λe^te^λet(1 + λe)

t = 0 ಅಂದಲ್ಲಿ μ'₁ = m'(0) = λ

μ₂ = m''(0) = λ(1 + λ)

σ² = μ₂' - (μ₁')² = λ

ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮೇಲಿನ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ x, y, z ಮೂರು ಚರಗಳಾದರೆ ಇವುಗಳ ವಿತರಣೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನ f(x,y,z) ∞ < x,y,z < ∞, y ಚರದ r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ

$E(y^{r})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\mathbb {Y} }y^{r}f(x,y,z)dzdydx$

ಇದಲ್ಲದೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ q, r, s > 0 ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಸಹಚಲನ ಪಡೆಯುವುದರಲ್ಲೂ ಇದರ ಬಳಕೆ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತದೆ. x ಮತ್ತು z ನ ಸಹಚಲ

$\sigma _{xz}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)][z-E(z)]f(x,y,z)dzdydx$

-h² < t₁,t₂,t₃ < h² ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ t₁,t₂,t₃ ಕ್ಕೆ (ಯಾವುದಾದರೂ h² ಬೆಲೆಗೆ) Eexp(t₁x + t₂y + t₃z) ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ x,y,z ನ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ m(t₁, t₂, t₃) = Eexp(t₁x + t₂y + t₃z)

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಚರದ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆ ಚರದ t_i ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವಕಲಿಸಿ t₁,t₂,t₃ ನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಗಟ್ಟಬೇಕು.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ

• Spanos, Aris (1999). Probability Theory and Statistical Inference. New York: Cambridge University Press. pp. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Walker, Helen M. (1929). Studies in the history of statistical method, with special reference to certain educational problems. Baltimore, Williams & Wilkins Co. p. 71.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Moment", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moments at Mathworld