ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್
ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್
ಜನನ	ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್; ೧೭ ಜನವರಿ ೧೯೦೫; ದಹನು, ಬಾಂಬೆ ಪ್ರೆಸಿಡೆನ್ಸಿ, ಭಾರತ
ಮರಣ	೧೯೮೬ (ವಯಸ್ಸು ೮೧); ದೇವ್ಲಾಲಿ, ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ, ಭಾರತ
ವೃತ್ತಿ	ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕ
ಗಮನಾರ್ಹ ಕೆಲಸಗಳು	ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ (೧೭ ಜನವರಿ ೧೯೦೫ - ೧೯೮೬) ಇವರು ಒಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತಜ್ಞರು. ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು, ಹರ್ಷದ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹಲವಾರು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಹಾಗೂ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ತರಬೇತಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೂ, ಅವರು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿ ಮತ್ತು ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ^[೧]

ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ತಮ್ಮ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಠಾಣೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಗುವಾಹಟಿಯ ಕಾಟನ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ೧೯೨೭ ರಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಕೃತಿಗಾಗಿ ಅವರು ರಾಂಗ್ಲರ್ ಆರ್.ಪಿ.ಪರಾಂಜಪೆ ಗಣಿತ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಗೆದ್ದರು. ^[೨]

೧೯೨೯ ರಲ್ಲಿ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ಮುಂಬೈ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಂಗ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ತಮ್ಮ ಬ್ಯಾಚುಲರ್ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯದ ಇವರು, ತಮ್ಮ ಇಡೀ ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು (೧೯೩೦-೧೯೬೨) ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರದ ದೇವ್ಲಾಲಿಯ ಸರ್ಕಾರಿ ಕಿರಿಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ ಕಳೆದರು. ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ತೆರಳುತ್ತಿದ್ದ ಇವರು ಖಾಸಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ತರಬೇತಿ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಇವರು ತಮ್ಮ ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ನದಿಯ ಬಳಿ ಕುಳಿತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಇವರು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಮಾಂಶಗಳು, ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತಹ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರನ್ನು ಗನಿತಾನಂದ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ^[೩]

ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ^[೪] ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಅವರ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ದೇವ್ಲಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಮ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಕೋಪರ್ ನಿಕಸ್ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ^[೫] ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ ಹಾಗೂ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೆಳ-ಮಟ್ಟದ ಗಣಿತ ನಿಯತಕಾಲಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು ಅಥವಾ ಖಾಸಗಿಯಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೆ, ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಮಾರ್ಚ್ ೧೯೭೫ ರಲ್ಲಿ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೆರಿಕನ್‌ಗಾಗಿ ಗಣಿತ ಆಟಗಳ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಾಗ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಖ್ಯಾತಿಯು ಬಂದಿತು. ೧೯೭೫ ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಮರ್ಲಿನ್ ಬರ್ನ್ಸ್ ಅವರ ಮಕ್ಕಳ ಪುಸ್ತಕ ದಿ ಐ ಹೇಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಅವರ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವಿವರಣೆಯು ಅವರ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲದೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಇಂದು ಅವರ ಹೆಸರು ಚಿರಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ ಹಾಗೂ ಇತರ ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ^[೬]

ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಅವರ ಸ್ಥಿರತೆಗಳು

೧೯೪೯ ರಲ್ಲಿ, ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ೬,೧೭೪ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ನಂತರ ಅದನ್ನು "ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ^[೭] ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲದ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ೬,೧೭೪ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟರು. ಹೀಗಾಗಿ, ೧೨೩೪ ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು:

೪೩೨೧ − ೧೨೩೪ = ೩೦೮೭, ನಂತರ

೮೭೩೦ − ೦೩೭೮ = ೮೩೫೨, ಮತ್ತು

೮೫೩೨ − ೨೩೫೮ = ೬೧೭೪.

ಈ ಹಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (೭೬೪೧ − ೧೪೬೭ = ೬೧೭೪) ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದಾಗ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಏಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

೩ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ೪೯೫ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲ ೧೦ ರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ೩ ಅಥವಾ ೪ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ^[೮] ೧೦ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಅಂಕಿಯ ಉದ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯಾಮ್ಲಗಳಿಗೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರ ವಾಡಿಕೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ^[೯]

ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್:

KAPREKAR_CONSTANT = 6174

print("Enter the number as 0 to stop")

while True:
    n = input("Enter a four digit number: ")
    if not n.isdigit() or len(n) != 4:
        print("Enter a valid four digit integer\n")
        continue
    else:
        n = int(n)
    if n == 0:
        break
    print(f"n = {n}")
    while True:
        digits = []
        for i in range(4):
            digits.append(n % 10)
            n //= 10
        digits.sort(reverse=True)
        large = 0
        for d in digits:
            large = large * 10 + d
        digits.sort()
        small = 0
        for d in digits:
            small = small * 10 + d
        n = large - small
        print(f"{large:>4} - {small:>4} = {n:>4}")
        if n == KAPREKAR_CONSTANT:
            break
    print()

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌‌ರವರು ವಿವರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗವೆಂದರೆ, ಅದು "ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು". ^[೧೦] ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾ. ೪೫, ೪೫೨ = ೨೦೨೫, ಮತ್ತು ೨೦ + ೨೫ = ೪೫, ಮತ್ತು ೯, ೫೫, ೯೯ ಇತ್ಯಾದಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ೧೦೦೨ = ೧೦೦೦೦, ಮತ್ತು ೧೦೦ + ೦೦ = ೧೦೦ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ೧೦೦ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಚೌಕದ ಬಲಭಾಗದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎಡಭಾಗದ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು "ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

೯, ೯೯, ೯೯೯, ..., ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದೆ, ಬೇಸ್ ೧೦ ರಲ್ಲಿನ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಒಇಐಎಸ್ ನಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಎ೦೦೬೮೮೬):

ಸಂಖ್ಯೆ	ಚದರ	ವಿಘಟನೆ
703	703² = 494209	494+209 = 703
2728	2728² = 7441984	744+1984 = 2728

ದೇವ್ಲಾಲಿ ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ

೧೯೬೩ ರಲ್ಲಿ, ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ^[೧೧] ಅಂದರೆ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದಕ್ಕೆ ತನ್ನದೇ ಆದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ೨೧ ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ೧೫: ೧೫ + ೧ + ೫ = ೨೧ ರಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ೨೦ ಒಂದು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿದರು. ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ದೇವ್ಲಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವರು ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪಟ್ಟಣದ ನಂತರ). ಇದು ಅವರ ಆದ್ಯತೆಯ ಪದನಾಮವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪದನಾಮದ ನಂತರ "ಕೊಲಂಬಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಅವರು ಹರ್ಷದ್ ಎಂಬ ಹೆಸರಿಸಿನ ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದರರ್ಥ "ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುವುದು". ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ^[೧೨] ಆದ್ದರಿಂದ , ೧ + ೨ = ೩ ರಿಂದ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದ ೧೨, ಒಂದು ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆನಡಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಇವಾನ್ ಎಂ. ನಿವೆನ್ ಅವರು ೧೯೭೭ ರಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀಡಿದ ಉಪನ್ಯಾಸದ ನಂತರ ಇವುಗಳನ್ನು "'ನಿವೆನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತ್ಯಾಮ್ಲಗಳಲ್ಲಿ (ಕೇವಲ ೧, ೨, ೪, ಮತ್ತು ೬) ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಲ್-ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು, ವಿತರಣೆ, ಆವರ್ತನ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ^[೧೩]

ಡೆಮ್ಲೊ ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ಡೆಮ್ಲೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಸರು ಆಗಿನ ಜಿ.ಐ.ಪಿ ರೈಲ್ವೆಯು ಬಾಂಬೆಯಿಂದ ೩೦ ಮೈಲಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಡೆಮ್ಲೊ (ಈಗ ಡೊಂಬಿವಿಲಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ^[೧೪] ಅಲ್ಲಿ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆಲೋಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವುಗಳೆಂದರೆ, ವಂಡರ್ ಫುಲ್ ಡೆಮ್ಲೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ: ೧, ೧೨೧, ೧೨೩೨೧೦೦, ೧೨೩೪೩೨೧, ..., ಅವು ೧, ೧೧, ೧೧೧,೧೧೧೧, .... ^[೧೫]

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ

ಪ್ರಹ್ಲಾದ್ ಚುನ್ನಿಲಾಲ್ ವೈದ್ಯ

ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು

"Mysterious number 6174" Archived 2009-02-28 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.
Numberphile (Dec 5, 2011) 6174 ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ಅವರ ಯೂಟ್ಯೂಬ್ ವೀಡಿಯೊ

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
↑ Dilip M. Salwi (24 ಜನವರಿ 2005). "Dattaraya Ramchandra Kaprekar". Archived from the original on 16 November 2007. Retrieved 30 November 2007.
↑ https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar/
↑ Athmaraman, R. (2004). The Wonder World of Kaprekar Numbers. Chennai (India): The Association of Mathematics Teachers of India.
↑ Kaprekar, D. R. (1974). "The Copernicus Magic Square". Indian Journal of History of Science. 9 (1).
↑ Burns, Marilyn (1975). The I Hate Mathematics Book. Boston: Little Brown and Company. p. 85. ISBN 0-316-11741-2.
↑ Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica. 15: 244–245.
↑ An informal proof of the property for three digits
↑ "Mysterious number 6174" Archived 2009-02-28 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. in Plus Magazine
↑ Weisstein, Eric W., "Kaprekar Number", MathWorld.
↑ Kaprekar, D. R. The Mathematics of New Self-Numbers Devalali (1963)nn: 19–20
↑ https://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/
↑ https://handwiki.org/wiki/Harshad_number
↑ Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939). "Theory of Demlo numbers" (PDF). J. Univ. Bombay. VIII (3): 3–9.
↑ Weisstein, Eric W., "Demlo Number", MathWorld.

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[2] Dilip M. Salwi (24 ಜನವರಿ 2005). "Dattaraya Ramchandra Kaprekar". Archived from the original on 16 November 2007. Retrieved 30 November 2007.

[3] ttps://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar/

[4] Athmaraman, R. (2004). The Wonder World of Kaprekar Numbers. Chennai (India): The Association of Mathematics Teachers of India.

[5] Kaprekar, D. R. (1974). "The Copernicus Magic Square". Indian Journal of History of Science. 9 (1).

[6] Burns, Marilyn (1975). The I Hate Mathematics Book. Boston: Little Brown and Company. p. 85. ISBN 0-316-11741-2.

[7] Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica. 15: 244–245.

[8] An informal proof of the property for three digits

[9] "Mysterious number 6174" Archived 2009-02-28 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. in Plus Magazine

[10] Weisstein, Eric W., "Kaprekar Number", MathWorld.

[11] Kaprekar, D. R. The Mathematics of New Self-Numbers Devalali (1963)nn: 19–20

[12] ttps://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/

[13] ttps://handwiki.org/wiki/Harshad_number

[14] Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939). "Theory of Demlo numbers" (PDF). J. Univ. Bombay. VIII (3): 3–9.

[15] Weisstein, Eric W., "Demlo Number", MathWorld.

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]

[೮]

[೯]

[೧೦]

[೧೧]

[೧೨]

[೧೩]

[೧೪]

[೧೫]

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್

ಜನನ	ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ (೧೯೦೫-೦೧-೧೭)೧೭ ಜನವರಿ ೧೯೦೫ ದಹನು, ಬಾಂಬೆ ಪ್ರೆಸಿಡೆನ್ಸಿ, ಭಾರತ
ಮರಣ	೧೯೮೬ (ವಯಸ್ಸು ೮೧) ದೇವ್ಲಾಲಿ, ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ, ಭಾರತ
ವೃತ್ತಿ	ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕ
ಗಮನಾರ್ಹ ಕೆಲಸಗಳು	ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ