ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ

ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಚರದ (ವೇರಿಯೆಬಲ್) ಆರೋಹೀ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಘಾತಗಳು (powers) ಪದಗಳಾಗಿರುವ (ಟರ್ಮ್ಸ್) ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ (ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್). ಇದರ ರೂಪ ಹೀಗಿದೆ:

a₀ + a₁x + a₂x² + ……….. + a_nxⁿ + ……..

ಇಲ್ಲಿ a ಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೂ, x ಚರ. ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಯ ರೂಪ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ಇರಬಹುದು:

a₀ + a₁(x - α) + a₂(x - α)² + ……….. + a_n(x - α)ⁿ + …….. (1)

ಪ್ರಮೇಯ

ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ (1) x ನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ – ಅದು x₂ ಆಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ x₂ ≠ a – ಅಭಿಸರಿಸುವುದಾದರೆ (ಕನ್ವರ್ಜಸ್) ಮತ್ತು R = |x₂ – α₁|

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ |x₁ – α| < R ಆಗಿರುವಂಥ, α ಕೇಂದ್ರ (center) ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತ (disc of convergence) C ಯ ಒಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲ x₁ ಕ್ಕೂ ಘಾತಶ್ರೇಣಿ (1) ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅದೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಅವಶ್ಯವಾಗಿಯೂ C ಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಕ (ಅನಲಿಟಿಕ್) ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿ (1), α ವನ್ನು ಕುರಿತು ಇದರ, ಟೇಲರನ ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿರಬೇಕು. (ಇಲ್ಲಿ C, ಕೇಂದ್ರ α ದಲ್ಲಿರುವ ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಇರುವ, ಒಂದು ವೃತ್ತ). C ಯ ಒಳಗೆ ಶ್ರೇಣಿ (1)ನ್ನು ಪದವಾರು ಅವಕಲಿಸಬಹುದು (ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಟ್) ಅಥವಾ ಅನುಕಲಿಸಬಹುದು (ಇಂಟೆಗ್ರೇಟ್). ಅಂದರೆ

f(x) = a₀ + a₁(x - α) + a₂(x - α)² + a₃(x - α)³ + …… …..(1)

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

f'(x) = a₁ + 2a₂(x - α) + 3a₃(x - α)² +…….. ….. (2)

ಮತ್ತು

$\int \limits _{\alpha }^{x}f(x)dx=a_{0}(x-\alpha )+{\frac {a_{1}}{2}}(x-\alpha )^{2}+{\frac {a_{2}}{3}}(x-\alpha )^{3}+\cdots$ …. (3)

(3) ರಲ್ಲಿ ಅನುಕಲನಾಂಕವನ್ನು (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್)

$\int \limits _{\alpha }^{x}f(x)dx=F(x)=|_{\alpha }^{x}=F(x)-F(\alpha )$ …… (4)

ಎಂಬುದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು C ಯ ಒಳಗಿನ ಎಲ್ಲ x ಗಳಿಗೂ $f(x)=F'(x)={\frac {dF}{dx}}$ …… (5)

ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ. ಒಂದು ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅವಶ್ಯವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೊತ್ತ ಉತ್ಪನ್ನದ (ಸಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಟೇಲರನ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮುಂದಿನ ಪ್ರರೂಪದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

a₀ + a₁(x - α) + a₂(x - α)² + ……… = b₀ + b₁(x - α) + b₂(x - α)² + …….. ….. (6)

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

a₀ = b₀, a₁ = b₁, a₂ = b₂ ……… ….(7)

ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ α ಮತ್ತು x ಗಳನ್ನು ನೈಜಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (real values) ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ (6) ನಿಜವೆಂದು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಗ ತೀರ್ಮಾನ (7) ಸಾಧುವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊತ್ತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಗಳು ಗೊತ್ತಿರುವಾಗ, ಒಂದು ದತ್ತ ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಹಲವಾರು ವೇಳೆ ಸಾಧ್ಯವೃತ್ತ C ಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ x₂ ನ್ನು ಶೋಧಿಸುವುದು ಶಕ್ಯವಾದರೆ ಆಗ ಈ ಮೊದಲು ನಿರೂಪಿಸಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Weisstein, Eric W., "Formal Power Series", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Power Series", MathWorld.
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.