ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
2
,
6
,
10
,
14
,
.
.
.
{\displaystyle 2,6,10,14,...}
ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:
ಶ್ರೇಢಿಪದ
ಮೊದಲನೇ
ಎರಡನೇ
ಮೂರನೇ
ನಾಲ್ಕನೇ
n
{\displaystyle n}
ಚಿಹ್ನೆ
T
1
{\displaystyle T_{1}}
T
2
{\displaystyle T_{2}}
T
3
{\displaystyle T_{3}}
T
4
{\displaystyle T_{4}}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
ಇಲ್ಲಿ
n
{\displaystyle n}
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:
T
1
,
T
2
,
T
3
,
.
.
.
T
n
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},...T_{n}}
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,
11
,
13
,
15
{\displaystyle 1,3,5,7,9,11,13,15}
S
=
{
x
:
(
2
x
+
1
)
,
1
≤
x
≤
15
}
{\displaystyle S=\{x:(2x+1),1\leq x\leq 15\}}
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:
T
1
,
T
2
,
T
3
,
.
.
.
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},...}
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
.
.
.
{\displaystyle 2,4,6,8,10,...}
S
=
{
x
:
2
x
,
x
>
0
}
{\displaystyle S=\{x:2x,x>0\}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಶ್ರೇಢಿ
T
2
−
T
1
{\displaystyle T_{2}-T_{1}}
T
3
−
T
2
{\displaystyle T_{3}-T_{2}}
T
4
−
T
3
{\displaystyle T_{4}-T_{3}}
5
,
8
,
11
,
14
,
.
.
.
{\displaystyle 5,8,11,14,...}
3
3
3
3
,
13
,
23
,
33
,
.
.
.
{\displaystyle 3,13,23,33,...}
10
10
10
1
,
−
1
,
−
3
,
−
5
,
.
.
.
{\displaystyle 1,-1,-3,-5,...}
-2
-2
-2
1
,
1.5
,
2
,
2.5
,
.
.
.
{\displaystyle 1,1.5,2,2.5,...}
0.5
0.5
0.5
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು
d
{\displaystyle d}
T
1
,
T
2
,
T
3
,
T
4
,
.
.
.
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...}
d
=
T
2
−
T
1
=
T
3
−
T
2
=
T
4
−
T
3
.
.
.
{\displaystyle d=T_{2}-T_{1}=T_{3}-T_{2}=T_{4}-T_{3}...}
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
T
1
=
a
{\displaystyle T_{1}=a}
T
2
=
T
1
+
d
=
a
+
d
{\displaystyle T_{2}=T_{1}+d=a+d}
T
3
=
T
2
+
d
=
(
a
+
d
)
+
d
=
a
+
2
d
{\displaystyle T_{3}=T_{2}+d=(a+d)+d=a+2d}
T
4
=
T
3
+
d
=
(
a
+
2
d
)
+
d
=
a
+
3
d
{\displaystyle T_{4}=T_{3}+d=(a+2d)+d=a+3d}
ಹಾಗಾಗಿ,
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
a
,
(
a
+
d
)
,
(
a
+
2
d
)
,
(
a
+
3
d
)
,
.
.
.
{\displaystyle a,(a+d),(a+2d),(a+3d),...}
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
5
,
10
,
15
,
20
,
25
{\displaystyle 5,10,15,20,25}
S
=
{
x
:
(
3
x
−
1
)
,
0
≤
x
≤
50
}
{\displaystyle S=\{x:(3x-1),0\leq x\leq 50\}}
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
5
,
10
,
15
,
20
,
25
,
.
.
.
{\displaystyle 5,10,15,20,25,...}
S
=
{
x
:
(
3
x
−
1
)
,
0
≤
x
}
{\displaystyle S=\{x:(3x-1),0\leq x\}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
n
{\displaystyle n}
T
n
=
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle T_{n}=a+(n-1)d}
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ
5
,
10
,
15
,
20
,
25
,
.
.
.
{\displaystyle 5,10,15,20,25,...}
T
1
=
a
=
5
,
d
=
T
2
−
T
1
=
10
−
5
=
5
{\displaystyle T_{1}=a=5,\ d=T_{2}-T_{1}=10-5=5}
T
1
=
5
=
a
=
a
+
(
1
−
1
)
d
{\displaystyle T_{1}=5=a=a+(1-1)d}
T
2
=
10
=
5
+
5
=
a
+
d
=
a
+
(
2
−
1
)
d
{\displaystyle T_{2}=10=5+5=a+d=a+(2-1)d}
T
3
=
15
=
5
+
5
+
5
=
a
+
d
+
d
=
a
+
(
3
−
1
)
d
{\displaystyle T_{3}=15=5+5+5=a+d+d=a+(3-1)d}
T
4
=
20
=
5
+
5
+
5
+
5
=
a
+
d
+
d
+
d
=
a
+
(
4
−
1
)
d
{\displaystyle T_{4}=20=5+5+5+5=a+d+d+d=a+(4-1)d}
⋯
{\displaystyle \cdots }
T
n
=
a
+
d
+
d
+
d
.
.
.
=
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle T_{n}=a+d+d+d...=a+(n-1)d}
∴
T
n
=
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle \therefore T_{n}=a+(n-1)d}
T
n
+
d
=
T
n
+
1
{\displaystyle T_{n}+d=T_{n+1}}
T
n
−
d
=
T
n
−
1
{\displaystyle T_{n}-d=T_{n-1}}
d
=
T
p
−
T
q
p
−
q
{\displaystyle d={\frac {T_{p}-T_{q}}{p-q}}}
d
=
T
n
−
a
n
−
1
{\displaystyle d={\frac {T_{n}-a}{n-1}}}
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ
n
{\displaystyle n}
ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
T
1
,
T
2
,
T
3
.
.
.
T
n
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}...T_{n}}
T
1
+
T
2
+
T
3
+
.
.
.
+
T
n
{\displaystyle T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
T
1
+
T
2
+
T
3
+
.
.
.
+
T
n
{\displaystyle S_{n}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}}
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ
S
1
=
T
1
{\displaystyle S_{1}=T_{1}}
S
2
=
T
1
+
T
2
{\displaystyle S_{2}=T_{1}+T_{2}}
S
3
=
T
1
+
T
2
+
T
3
.
.
.
{\displaystyle S_{3}=T_{1}+T_{2}+T_{3}...}
S
n
−
S
n
−
1
=
T
n
{\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=T_{n}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
n
2
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\left[2a+(n-1)d\right]}
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
{\displaystyle 1+2+3+...+n}
a
=
1
,
d
=
T
2
−
T
1
=
2
−
1
=
1
,
n
=
n
{\displaystyle a=1,\ d=T_{2}-T_{1}=2-1=1,\ n=n}
S
n
=
n
2
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
n
2
[
2
×
1
+
(
n
−
1
)
1
]
=
n
2
[
2
+
n
−
1
]
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}[2\times 1+(n-1)1]={\frac {n}{2}}[2+n-1]}
S
n
=
n
(
n
+
1
)
2
=
∑
1
n
n
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=\sum _{1}^{n}n}
ಮೊದಲ
n
{\displaystyle n}
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle ={\frac {n(n+1)}{2}}}
ಅಥವಾ
∑
1
n
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}
ಅಲ್ಲದೆ,
S
n
=
n
2
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}
S
n
=
n
2
[
a
+
{
a
+
(
n
−
1
)
d
}
]
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[a+\{a+(n-1)d\}]}
∴
S
n
=
n
2
[
a
+
T
n
]
∵
T
n
=
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {n}{2}}[a+T_{n}]\ \ \ \ \ \because \ T_{n}=a+(n-1)d}
∴
a
+
T
n
2
→
{\displaystyle \therefore {\frac {a+T_{n}}{2}}\ \rightarrow \ }
ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression ) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು
1
2
,
1
5
,
1
8
,
1
11
,
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{11}},...}
2
,
5
,
8
,
11
,
.
.
.
{\displaystyle 2,5,8,11,...}
1
30
,
1
28
,
1
26
,
1
24
,
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{30}},{\frac {1}{28}},{\frac {1}{26}},{\frac {1}{24}},...}
30
,
28
,
26
,
24
,
.
.
.
{\displaystyle 30,28,26,24,...}
1
,
2
3
,
2
4
,
2
5
,
.
.
.
{\displaystyle 1,{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {2}{5}},...}
1
,
3
2
,
4
2
,
5
2
,
.
.
.
{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{2}},{\frac {5}{2}},...}
ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
a
,
a
+
d
,
a
+
2
d
,
.
.
.
,
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ ...,\ a+(n-1)d}
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.
∴
1
a
,
1
a
+
d
,
1
a
+
2
d
,
.
.
.
,
1
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle \therefore {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ ...,\ {\frac {1}{a+(n-1)d}}}
∴
{\displaystyle \therefore }
n
{\displaystyle n}
T
n
=
1
a
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle T_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}}
ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ
n
{\displaystyle n}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
1
,
3
,
9
,
27
,
.
.
.
{\displaystyle 1,3,9,27,...}
2
,
1
,
1
2
,
1
4
,
.
.
.
{\displaystyle 2,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},...}
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು
3
{\displaystyle 3}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು
r
{\displaystyle r}
ಶ್ರೇಢಿ
T
2
T
1
{\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}
T
3
T
2
{\displaystyle {\frac {T_{3}}{T_{2}}}}
T
4
T
3
{\displaystyle {\frac {T_{4}}{T_{3}}}}
3
,
9
,
27
,
81
,
.
.
.
{\displaystyle 3,9,27,81,...}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
1000
,
100
,
10
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle 1000,100,10,1,...}
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
5
,
25
,
125
,
625
,
.
.
.
{\displaystyle 5,25,125,625,...}
5
{\displaystyle 5}
5
{\displaystyle 5}
5
{\displaystyle 5}
T
1
,
T
2
,
T
3
,
T
4
,
.
.
.
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...}
r
=
T
2
T
1
=
T
3
T
2
=
T
4
T
3
=
.
.
.
=
T
n
T
n
−
1
{\displaystyle r={\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {T_{3}}{T_{2}}}={\frac {T_{4}}{T_{3}}}=...={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ
a
{\displaystyle a}
r
{\displaystyle r}
a
,
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
a
r
4
,
.
.
.
,
a
r
n
−
1
{\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},...,ar^{n-1}}
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ:
T
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle T_{n}=ar^{n-1}}
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
T
n
+
1
=
T
n
×
r
{\displaystyle T_{n+1}=T_{n}\times r}
ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು
r
{\displaystyle r}
T
n
−
1
=
T
n
÷
r
{\displaystyle T_{n-1}=T_{n}\div r}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
1
+
3
+
9
+
27
+
.
.
.
{\displaystyle 1+3+9+27+...}
2
+
1
+
1
2
+
1
4
+
.
.
.
{\displaystyle 2+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+...}
n
{\displaystyle n}
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಮೊದಲನೇ ಪದವು
a
{\displaystyle a}
r
{\displaystyle r}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
r
{\displaystyle r}
r
S
n
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
+
a
r
n
{\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-1}+ar^{n}}
S
n
−
r
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
S
n
(
1
−
r
)
=
−
a
r
−
a
r
2
−
a
r
3
−
a
r
4
−
.
.
.
−
a
r
n
−
1
−
a
r
n
_
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
=
−
a
r
−
a
r
2
−
a
r
3
−
a
r
4
−
.
.
.
−
a
r
n
−
1
−
a
r
n
_
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}S_{n}-rS_{n}&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}\\S_{n}(1-r)&={\underline {-ar-ar^{2}-ar^{3}-ar^{4}-...-ar^{n-1}-ar^{n}}}\\&=a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}+...+{\cancel {ar^{n-1}}}\\&={\underline {{\cancel {-ar}}-{\cancel {ar^{2}}}-{\cancel {ar^{3}}}-{\cancel {ar^{4}}}-...-{\cancel {ar^{n-1}}}-ar^{n}}}\\&=a-ar^{n}\end{alignedat}}}
∴
S
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
r
≠
1
{\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\ \ \ \ \ \ \ \ r\neq 1}
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\left[2a+(n-1)d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929a2e9c96a8f1b5a8817ec4014d2e610dad9432)
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}[2\times 1+(n-1)1]={\frac {n}{2}}[2+n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc752f44e32a7eb5069c0325d4a0bb92a45b4bf)
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3442b55f6c09e3b04a8fe5dfc807c9f245fb9de4)
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[a+\{a+(n-1)d\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1494d61dbb73e5416c7060dff6fe97d618d099)
![{\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {n}{2}}[a+T_{n}]\ \ \ \ \ \because \ T_{n}=a+(n-1)d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1cac8721093105730da69b4819f8be76f93fd8)
