ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:

ಶ್ರೇಢಿಪದ ಮೊದಲನೇ ಎರಡನೇ ಮೂರನೇ ನಾಲ್ಕನೇ ನೇ
ಚಿಹ್ನೆ

ಇಲ್ಲಿ  ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳುಸಂಪಾದಿಸಿ

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:  

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

 

 

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:  

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

 

 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಸಂಪಾದಿಸಿ

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೇಢಿ      
  3 3 3
  10 10 10
  -2 -2 -2
  0.5 0.5 0.5

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು   ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

 

 

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

  ಮೊದಲನೇ ಪದವು,   ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,

 

 

 

 

ಹಾಗಾಗಿ,   ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ,   ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:

 

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳುಸಂಪಾದಿಸಿ

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

 

 

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

 

 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ   ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ   ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ  ನೇ ಪದವು   ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ  ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:

 

 

 

 

 

 

 

 

   
   

ಶ್ರೇಣಿಸಂಪಾದಿಸಿ

ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ   ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.   ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ   ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು   ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ,  .

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ
 
 
 
 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ  , ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ   ಆಗಿದ್ದು,   ಮೊದಲ   ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,

 

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

  ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,

 

 

 

ಮೊದಲ   ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ   ಅಥವಾ  

ಅಲ್ಲದೆ,   ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

 

 

 ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಸಂಪಾದಿಸಿ

ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿಗಳು ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು
   
   
   

ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು   ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು   ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು   ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

 

  ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ   ನೇ ಪದವು,  

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ   ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಸಂಪಾದಿಸಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

 

 

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು  ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು  ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು   ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿ      
       
       
       

  ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ,  

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ   ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು   ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು   ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ:  

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ   ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು  ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:  

ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು  ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು:  

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳುಸಂಪಾದಿಸಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

 

 

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ   ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಸಂಪಾದಿಸಿ

ಮೊದಲನೇ ಪದವು   ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ   ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು   ಆಗಿರಲಿ.

 

  ಅನ್ನು  ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,