ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
2 , 6 , 10 , 14 , . . . {\displaystyle 2,6,10,14,...}
ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:
ಶ್ರೇಢಿಪದ
ಮೊದಲನೇ
ಎರಡನೇ
ಮೂರನೇ
ನಾಲ್ಕನೇ
n {\displaystyle n} ನೇ
ಚಿಹ್ನೆ
T 1 {\displaystyle T_{1}}
T 2 {\displaystyle T_{2}}
T 3 {\displaystyle T_{3}}
T 4 {\displaystyle T_{4}}
T n {\displaystyle T_{n}}
ಇಲ್ಲಿ n {\displaystyle n} ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: T 1 , T 2 , T 3 , . . . T n {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},...T_{n}}
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 {\displaystyle 1,3,5,7,9,11,13,15}
S = { x : ( 2 x + 1 ) , 1 ≤ x ≤ 15 } {\displaystyle S=\{x:(2x+1),1\leq x\leq 15\}}
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: T 1 , T 2 , T 3 , . . . {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},...}
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . {\displaystyle 2,4,6,8,10,...}
S = { x : 2 x , x > 0 } {\displaystyle S=\{x:2x,x>0\}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಶ್ರೇಢಿ
T 2 − T 1 {\displaystyle T_{2}-T_{1}}
T 3 − T 2 {\displaystyle T_{3}-T_{2}}
T 4 − T 3 {\displaystyle T_{4}-T_{3}}
5 , 8 , 11 , 14 , . . . {\displaystyle 5,8,11,14,...}
3
3
3
3 , 13 , 23 , 33 , . . . {\displaystyle 3,13,23,33,...}
10
10
10
1 , − 1 , − 3 , − 5 , . . . {\displaystyle 1,-1,-3,-5,...}
-2
-2
-2
1 , 1.5 , 2 , 2.5 , . . . {\displaystyle 1,1.5,2,2.5,...}
0.5
0.5
0.5
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು d {\displaystyle d} ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , . . . {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...}
d = T 2 − T 1 = T 3 − T 2 = T 4 − T 3 . . . {\displaystyle d=T_{2}-T_{1}=T_{3}-T_{2}=T_{4}-T_{3}...}
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
a {\displaystyle a} ಮೊದಲನೇ ಪದವು, d {\displaystyle d} ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,
T 1 = a {\displaystyle T_{1}=a}
T 2 = T 1 + d = a + d {\displaystyle T_{2}=T_{1}+d=a+d}
T 3 = T 2 + d = ( a + d ) + d = a + 2 d {\displaystyle T_{3}=T_{2}+d=(a+d)+d=a+2d}
T 4 = T 3 + d = ( a + 2 d ) + d = a + 3 d {\displaystyle T_{4}=T_{3}+d=(a+2d)+d=a+3d}
ಹಾಗಾಗಿ, a {\displaystyle a} ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, d {\displaystyle d} ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:
a , ( a + d ) , ( a + 2 d ) , ( a + 3 d ) , . . . {\displaystyle a,(a+d),(a+2d),(a+3d),...}
ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
5 , 10 , 15 , 20 , 25 {\displaystyle 5,10,15,20,25}
S = { x : ( 3 x − 1 ) , 0 ≤ x ≤ 50 } {\displaystyle S=\{x:(3x-1),0\leq x\leq 50\}}
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
5 , 10 , 15 , 20 , 25 , . . . {\displaystyle 5,10,15,20,25,...}
S = { x : ( 3 x − 1 ) , 0 ≤ x } {\displaystyle S=\{x:(3x-1),0\leq x\}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ a {\displaystyle a} ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ d {\displaystyle d} ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ n {\displaystyle n} ನೇ ಪದವು T n = a + ( n − 1 ) d {\displaystyle T_{n}=a+(n-1)d} ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , . . . {\displaystyle 5,10,15,20,25,...} ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:
T 1 = a = 5 , d = T 2 − T 1 = 10 − 5 = 5 {\displaystyle T_{1}=a=5,\ d=T_{2}-T_{1}=10-5=5}
T 1 = 5 = a = a + ( 1 − 1 ) d {\displaystyle T_{1}=5=a=a+(1-1)d}
T 2 = 10 = 5 + 5 = a + d = a + ( 2 − 1 ) d {\displaystyle T_{2}=10=5+5=a+d=a+(2-1)d}
T 3 = 15 = 5 + 5 + 5 = a + d + d = a + ( 3 − 1 ) d {\displaystyle T_{3}=15=5+5+5=a+d+d=a+(3-1)d}
T 4 = 20 = 5 + 5 + 5 + 5 = a + d + d + d = a + ( 4 − 1 ) d {\displaystyle T_{4}=20=5+5+5+5=a+d+d+d=a+(4-1)d}
⋯ {\displaystyle \cdots }
T n = a + d + d + d . . . = a + ( n − 1 ) d {\displaystyle T_{n}=a+d+d+d...=a+(n-1)d}
∴ T n = a + ( n − 1 ) d {\displaystyle \therefore T_{n}=a+(n-1)d}
T n + d = T n + 1 {\displaystyle T_{n}+d=T_{n+1}}
T n − d = T n − 1 {\displaystyle T_{n}-d=T_{n-1}}
d = T p − T q p − q {\displaystyle d={\frac {T_{p}-T_{q}}{p-q}}}
d = T n − a n − 1 {\displaystyle d={\frac {T_{n}-a}{n-1}}}
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ n {\displaystyle n} ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. T 1 , T 2 , T 3 . . . T n {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}...T_{n}} ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ T 1 + T 2 + T 3 + . . . + T n {\displaystyle T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}} ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು S n {\displaystyle S_{n}} ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, S n = T 1 + T 2 + T 3 + . . . + T n {\displaystyle S_{n}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}} .
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ
S 1 = T 1 {\displaystyle S_{1}=T_{1}}
S 2 = T 1 + T 2 {\displaystyle S_{2}=T_{1}+T_{2}}
S 3 = T 1 + T 2 + T 3 . . . {\displaystyle S_{3}=T_{1}+T_{2}+T_{3}...}
S n − S n − 1 = T n {\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=T_{n}}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ a {\displaystyle a} , ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d {\displaystyle d} ಆಗಿದ್ದು, S n {\displaystyle S_{n}} ಮೊದಲ n {\displaystyle n} ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,
S n = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\left[2a+(n-1)d\right]}
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:
1 + 2 + 3 + . . . + n {\displaystyle 1+2+3+...+n} ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,
a = 1 , d = T 2 − T 1 = 2 − 1 = 1 , n = n {\displaystyle a=1,\ d=T_{2}-T_{1}=2-1=1,\ n=n}
S n = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] = n 2 [ 2 × 1 + ( n − 1 ) 1 ] = n 2 [ 2 + n − 1 ] {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}[2\times 1+(n-1)1]={\frac {n}{2}}[2+n-1]}
S n = n ( n + 1 ) 2 = ∑ 1 n n {\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=\sum _{1}^{n}n}
ಮೊದಲ n {\displaystyle n} ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle ={\frac {n(n+1)}{2}}} ಅಥವಾ ∑ 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}
ಅಲ್ಲದೆ, S n = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
S n = n 2 [ a + { a + ( n − 1 ) d } ] {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[a+\{a+(n-1)d\}]}
∴ S n = n 2 [ a + T n ] ∵ T n = a + ( n − 1 ) d {\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {n}{2}}[a+T_{n}]\ \ \ \ \ \because \ T_{n}=a+(n-1)d}
∴ a + T n 2 → {\displaystyle \therefore {\frac {a+T_{n}}{2}}\ \rightarrow \ } ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.
ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression ) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು
1 2 , 1 5 , 1 8 , 1 11 , . . . {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{11}},...}
2 , 5 , 8 , 11 , . . . {\displaystyle 2,5,8,11,...}
1 30 , 1 28 , 1 26 , 1 24 , . . . {\displaystyle {\frac {1}{30}},{\frac {1}{28}},{\frac {1}{26}},{\frac {1}{24}},...}
30 , 28 , 26 , 24 , . . . {\displaystyle 30,28,26,24,...}
1 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , . . . {\displaystyle 1,{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {2}{5}},...}
1 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , . . . {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{2}},{\frac {5}{2}},...}
ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು a {\displaystyle a} ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು d {\displaystyle d} ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು a , a + d , a + 2 d , . . . , a + ( n − 1 ) d {\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ ...,\ a+(n-1)d} ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.
∴ 1 a , 1 a + d , 1 a + 2 d , . . . , 1 a + ( n − 1 ) d {\displaystyle \therefore {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ ...,\ {\frac {1}{a+(n-1)d}}}
∴ {\displaystyle \therefore } ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ n {\displaystyle n} ನೇ ಪದವು, T n = 1 a + ( n − 1 ) d {\displaystyle T_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}}
ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ n {\displaystyle n} ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
1 , 3 , 9 , 27 , . . . {\displaystyle 1,3,9,27,...}
2 , 1 , 1 2 , 1 4 , . . . {\displaystyle 2,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},...}
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು 3 {\displaystyle 3} ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು r {\displaystyle r} ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಶ್ರೇಢಿ
T 2 T 1 {\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}
T 3 T 2 {\displaystyle {\frac {T_{3}}{T_{2}}}}
T 4 T 3 {\displaystyle {\frac {T_{4}}{T_{3}}}}
3 , 9 , 27 , 81 , . . . {\displaystyle 3,9,27,81,...}
3 {\displaystyle 3}
3 {\displaystyle 3}
3 {\displaystyle 3}
1000 , 100 , 10 , 1 , . . . {\displaystyle 1000,100,10,1,...}
1 10 {\displaystyle {\frac {1}{10}}}
1 10 {\displaystyle {\frac {1}{10}}}
1 10 {\displaystyle {\frac {1}{10}}}
5 , 25 , 125 , 625 , . . . {\displaystyle 5,25,125,625,...}
5 {\displaystyle 5}
5 {\displaystyle 5}
5 {\displaystyle 5}
T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , . . . {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...} ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ,
ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, r = T 2 T 1 = T 3 T 2 = T 4 T 3 = . . . = T n T n − 1 {\displaystyle r={\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {T_{3}}{T_{2}}}={\frac {T_{4}}{T_{3}}}=...={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ a {\displaystyle a} ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು r {\displaystyle r} ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು a , a r , a r 2 , a r 3 , a r 4 , . . . , a r n − 1 {\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},...,ar^{n-1}} ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: T n = a r n − 1 {\displaystyle T_{n}=ar^{n-1}}
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ r {\displaystyle r} ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು r {\displaystyle r} ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: T n + 1 = T n × r {\displaystyle T_{n+1}=T_{n}\times r}
ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು r {\displaystyle r} ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: T n − 1 = T n ÷ r {\displaystyle T_{n-1}=T_{n}\div r}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
1 + 3 + 9 + 27 + . . . {\displaystyle 1+3+9+27+...}
2 + 1 + 1 2 + 1 4 + . . . {\displaystyle 2+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+...}
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ n {\displaystyle n} ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ
ಬದಲಾಯಿಸಿ
ಮೊದಲನೇ ಪದವು a {\displaystyle a} ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ r {\displaystyle r} ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು S n {\displaystyle S_{n}} ಆಗಿರಲಿ.
S n = a + a r + a r 2 + a r 3 + . . . + a r n − 1 {\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
S n {\displaystyle S_{n}} ಅನ್ನು r {\displaystyle r} ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,
r S n = a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + . . . + a r n − 1 + a r n {\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-1}+ar^{n}}
S n − r S n = a + a r + a r 2 + a r 3 + . . . + a r n − 1 S n ( 1 − r ) = − a r − a r 2 − a r 3 − a r 4 − . . . − a r n − 1 − a r n _ = a + a r + a r 2 + a r 3 + . . . + a r n − 1 = − a r − a r 2 − a r 3 − a r 4 − . . . − a r n − 1 − a r n _ = a − a r n {\displaystyle {\begin{alignedat}{10}S_{n}-rS_{n}&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}\\S_{n}(1-r)&={\underline {-ar-ar^{2}-ar^{3}-ar^{4}-...-ar^{n-1}-ar^{n}}}\\&=a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}+...+{\cancel {ar^{n-1}}}\\&={\underline {{\cancel {-ar}}-{\cancel {ar^{2}}}-{\cancel {ar^{3}}}-{\cancel {ar^{4}}}-...-{\cancel {ar^{n-1}}}-ar^{n}}}\\&=a-ar^{n}\end{alignedat}}}
∴ S n = a ( 1 − r n ) 1 − r r ≠ 1 {\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\ \ \ \ \ \ \ \ r\neq 1}