ಓಟ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ)

ಪರಿಚಯ

x-ಅಕ್ಷದ ಧನ ದಿಶೆಯೊಡನೆ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ರಚಿಸುವ ಧನದಿಶಾತ್ಮಕ ಕೋನದ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (ಸ್ಲೆÆೕಪ್;ಗ್ರೇಡಿಯೆಂಟ್). ಪ್ರವಣತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಪದ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಟ ಸರಳರೇಖೆಯು ಔx ನೊಡನೆ ರಚಿಸುವ ಈ ಕೋನ ಚಿ ಇದರ ಹೆಸರು ರೇಖೆಯ ಬಾಗು ಅಥವಾ ಇಳಿಕಲು (ಇನ್ಕ್ಲಿನೇಷನ್). ಈಗ ಣಚಿಟಿಚಿ ಸರಳರೇಖೆಯ ಓಟ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ವಿವಿಧ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ್ಫದ ಬೆಲೆ 00ಯಿಂದ 1800 ವರೆಗೆ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆಗ ಣಚಿಟಿಚಿದ ಬೆಲೆ --8ಯಿಂದ +8 ವರೆಗೆ ಸಕಲ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯುವುದು. ್ಫ ಕೋನವು 00 ಅಥವಾ 1800ಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುವಾಗ ಸರಳರೇಖೆಯ ಓಟ 0ಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ; 900ಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುವಾಗ ಓಟ-8 ಅಥವಾ +8ಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ್ಫದ ಬೆಲೆಗಳು 00<್ಫ<900 ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಓಟ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿಯೂ 900<್ಫ<1800 ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಓಟ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಯೂ ಇರುವುದು. ಬೀಜರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಓಟವನ್ನು m ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಣಚಿಟಿಚಿ=m, P(x1,ಥಿ1) ಮತ್ತು ಕಿ(x2,ಥಿ2) ಎಂಬ ಎರಡು ದತ್ತ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಾದ ಟ ಸರಳರೇಖೆಯ ಓಟ mನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣ ಕೊಡುತ್ತದೆ-

                       m  =   ಥಿ1-ಥಿ2    ಎಂದರೆ

ಓಟ = [ಥಿ-ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ] x x1-x2

                        [x-ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ]
            

ಈಗ ಟ ಸರಳರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಥಿ-ಥಿ1=m (x-x1) ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕವ್ರ್ಸ್‌) ಓಟದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ : ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಣ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್) ಓಟವೇ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಓಟ. P(x1-ಥಿ1)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಥಿ=ಜಿ(x) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಓಟ Pಖಿಯ ಓಟವಾದ ಣಚಿಟಿಚಿ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ Pಖಿಯನ್ನು Pಕಿ ವಿನಂಥ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಜ್ಯಾಗಳ ಪರಮಾ ಸ್ಥಿತಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಿ ಬಿಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮೇಣ P ಎಡೆಗೆ ಸರಿದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ Pಯಲ್ಲಿ ಐಕ್ಯವಾಗುವುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳತ್ತೇವೆ. ಆಗ ಣಚಿಟಿಚಿ==ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಥಿ=ಜಿ(x) ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ (x1-ಥಿ1)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ ಥಿ-ಥಿ1=ಜಿ1 (x1) (x-x1)

ಆಗುವುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಜಿ(x,ಥಿ)=0 ಅಥವಾ (x, ಥಿ)=0 ಇರುವಾಗ

ಓಟವೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಮತಳ

ಓಟವೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಮತಳ (ಎಂದರೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳು) ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಕೋಟಿಜ್ಯಾಗಳು (ನೋಡಿ- ದಿಕ್ಕೋಟಿಜ್ಯಾಗಳು) ಎಂಬ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗುವುದು. ಭೂಪಟ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪಠನದಲ್ಲಿ ಓಟದ ಅsವಶ್ಯಕತೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ಕಾರಣದಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಎನ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮುದ್ರಮಟ್ಟದಿಂದ 1,000 ಅಡಿಗಳ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ -ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಬೆಟ್ಟದ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪೀಠ ಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೆರವೇರಿಸಿದರೆ ಇವೆಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ಒಂದು ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅ1 ಇಂಥ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎತ್ತರವನ್ನು 50ರ ಅಪವತರ್ಯ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ ಪ್ರತಿ 50ರ ಏರಿಕೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಜೋಡಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಎತ್ತರ ಏರಿದಂತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಒಂದರೊಳಗೊಂದು ಸೇರಿಕೊಂಡು ಗಿರಿಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವೋ ಒಂದು ಬಲು ಕಿರಿಯ ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆಯಯೋ ದೊರೆಯಬಹುದು. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು ಸಮೋನ್ನತಿ ರೇಖೆಗಳು (ಕಾಟೂರ್ ಲೈನ್ಸ್‌).

ಭೂಪಟದಲ್ಲಿ P ಬಿಂದು 1000 ಅಡಿಗಳ ಸಮೋನ್ನತಿ ರೇಖೆಯ (ಅ1) ಮೇಲಿದೆಯೆಂದೂ ಕಿ ಬಿಂದು 1400 ಅಡಿಗಳ ಸಮೋನ್ನತಿ ರೇಖೆಯ (ಅ2) ಮೇಲಿದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. Pಕಿ ಸರಳರೇಖೆಯ ಓಟ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದೊಂದು ಭೌಗೋಳಿಕದ ಪ್ರಶ್ನೆ - ಸೈನ್ಯಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಶಿಲ್ಪಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪ್ರಧಾನಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆಗ ನಡೆಸಬೇಕಾದ ಗಣನೆಗಳಿಷ್ಟು, ಕಿ ಬಿಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 400 ಅಡಿಗಳಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಅವುಗಳ ಊಧಾರ್ವ್‌ಂತರ (ವರ್ಟಿಕಲ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ ಗಿI). ಇದು ಗಣನೆಯಿಂದ ತಿಳಿಯುವುದು. ಭೂಪಟದಲ್ಲಿ Pಕಿ ದೂರವನ್ನು ಅಳತೆಮಾಡಿ ಆ ಪಟದ ಮಾನಕದ (ಸ್ಕೇಲ್) ಅನುಸಾರ ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ದೂರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಅದನ್ನು ಅಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. 1 ಇಂಚ್ =1 ಮೈಲಿ ಮಾನಕವಿರುವ ಭೂಪಟದಲ್ಲಿ Pಕಿ ಅಂತರ 0.25" ಇದ್ದರೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ Pಕಿ ಅಂತರ 1320 ಅಡಿಗಳಾಗುತ್ತವೆ. Pಕಿ ಅಂತರದ ಹೆಸರು ಕ್ಷಿತಿಜೀಯ ಸಮಾನಕ (ಹಾರಿeóÁಂಟಲ್ ಈಕ್ವಿವಲೆಂಟ್, ಊಇ) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ Pಖ ಈ ಬೆಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ. ಈಗ Pಕಿವಿನ ಓಟ = ಈ ಬೆಲೆ ತಿಳಿದೊಡನೆಯೇ ಮುಂದಿನ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಟರಿ ಅಥವಾ ಬೇರಾವುದೋ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. *