ಘನ (ಬೀಜಗಣಿತ)
ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ n ನ ಘನ ಅದರ ಥರ್ಡ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು:
- n3 = n × n × n.
- n3 = n × n2.
ಉದ್ದ n ನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರವೂ ಇದಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಅವರ ಘನವನ್ನು n ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಲವಾರು ಹುಡುಕುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಘನಮೂಲ n . ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಘನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು n ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಇನ್ನಿತರ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ 3 ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 23 = 8 ಅಥವಾ (x + 1) 3 .
ವರ್ಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ f: x → x 3 (ಅಥವಾ y = x 3 ಸಮೀಕರಣ) ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನವು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಲ್ಲ .
| 0 3 = | 0 | ||||||||||
| 1 3 = | 1 | 11 3 = | 1331 | 21 3 = | 9261 | 31 3 = | 29,791 ರೂ | 41 3 = | 68,921 | 51 3 = | 132,651 |
| 2 3 = | 8 | 12 3 = | 1728 | 22 3 = | 10,648 | 32 3 = | 32,768 | 42 3 = | 74,088 | 52 3 = | 140,608 |
| 3 3 = | 27 | 13 3 = | 2197 | 23 3 = | 12,167 | 33 3 = | 35,937 ರೂ | 43 3 = | 79,507 | 53 3 = | 148,877 |
| 4 3 = | 64 | 14 3 = | 2744 | 24 3 = | 13,824 | 34 3 = | 39,304 | 44 3 = | 85,184 | 54 3 = | 157,464 |
| 5 3 = | 125 | 15 3 = | 3375 | 25 3 = | 15,625 | 35 3 = | 42,875 | 45 3 = | 91,125 | 55 3 = | 166,375 |
| 6 3 = | 216 | 16 3 = | 4096 | 26 3 = | 17,576 | 36 3 = | 46,656 | 46 3 = | 97,336 | 56 3 = | 175,616 |
| 7 3 = | 343 | 17 3 = | 4913 | 27 3 = | 19,683 | 37 3 = | 50,653 | 47 3 = | 103,823 | 57 3 = | 185,193 |
| 8 3 = | 512 | 18 3 = | 5832 | 28 3 = | 21,952 ರೂ | 38 3 = | 54,872 | 48 3 = | 110,592 | 58 3 = | 195,112 |
| 9 3 = | 729 | 19 3 = | 6859 | 29 3 = | 24,389 | 39 3 = | 59,319 | 49 3 = | 117,649 | 59 3 = | 205,379 |
| 10 3 = | 1000 | 20 3 = | 8000 | 30 3 = | 27,000 | 40 3 = | 64,000 | 50 3 = | 125,000 | 60 3 = | 216,000 |
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಒಬ್ಬರು m ವರ್ಗ ಘಟಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾದ, ವರ್ಗವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 × 3 × 3 = 27 ರಿಂದ 27 ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಬಿಕ್ಸ್ ವರ್ಗದ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.
ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
- n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.
- (n + 1)3 − n3 = 3(n + 1)n + 1.
ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವು. ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (−4) × (−4) × (−4) = −64.
ಮೂಲ ಹತ್ತು
ಬದಲಾಯಿಸಿಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 25, 75 ಮತ್ತು 00 ಮಾತ್ರ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಬೆಸ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಬಹುದು. ಸಮ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 00, o 2, e 4, o 6 ಮತ್ತು e 8 ಮಾತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು (ಇಲ್ಲಿ o ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು e ಯಾವುದೇ ಸಮ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ). ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 64 ಒಂದು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆ (8 × 8) ಮತ್ತು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ (4 × 4 × 4) . ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಆರನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2 6 ).
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲ 1, 8 ಅಥವಾ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು . ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಕೇವಲ −1, 1 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:
- X ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,
- 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು 1 ರ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,
- 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಉಳಿದ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 8 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,
ಪ್ರತಿ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂಬತ್ತು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ) ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂಬತ್ತು ಘನಗಳ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 23 ಅನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
- 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .