ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಮೂರು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ - ಕೆಂಪು, ಹಸಿರು ಮತ್ತು ನೀಲಿ. ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?

• ಕೆಂಪು, ಹಸಿರು, ನೀಲಿ
• ಕೆಂಪು, ನೀಲಿ, ಹಸಿರು
• ಹಸಿರು, ಕೆಂಪು, ನೀಲಿ
• ಹಸಿರು, ನೀಲಿ, ಕೆಂಪು
• ನೀಲಿ, ಕೆಂಪು, ಹಸಿರು
• ನೀಲಿ, ಹಸಿರು, ಕೆಂಪು

ಇವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳ ಆರು ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ n ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ k ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಸಾಲಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? ಇದನ್ನು $P_{k}^{n}$, $_{n}P_{k}$, $^{n}P_{k}$, $P_{n,k}$, ಅಥವಾ $P(n,k)$ ಎಂದು ಅನೇಕ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ಚೆಂಡನ್ನು n ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡನೇ ಚೆಂಡನ್ನು (n -1) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೀಗೇ ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಚೆಂಡನ್ನು (n - (k-1)) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

$P_{k}^{n}=n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ n ಎಂಬುದು 5 ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು 3 ಆದರೆ $P(5,3)=5\cdot 4\cdot 3=60$ ಆಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನೂ ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಒಟ್ಟು $n\cdot (n-1)\cdot 2\cdot 1$ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ n ಅಥವಾ n! ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 3! ಅಥವಾ ಆರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 1,2,3 ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು - (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), and (3,2,1).

ಇತಿಹಾಸ

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಎಂಬ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಲೀಲಾವತೀಯಮ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ (ಕ್ರಿ.ಶ. 1150). ಫೇಬಿಯನ್ ಸ್ಟೆಡ್ ಮನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ 1677ರಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ.

ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಿರೂಪಣೆ

ಐದು ಅಂಕಿಗಳ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - 2 5 4 3 1. ಇದನ್ನು 1 2 3 4 5 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಾಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬರುವ ಅಂಶ ಇದು - 1 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 2 ಇದೆ; 2 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 5 ಇದೆ; 5 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಇದೆ. ಇವನ್ನೂ (1 2 5) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ 3 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 4 ಮತ್ತು 4 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 3 ಇದೆ. ಇದನ್ನು (3 4) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 2 5 4 3 1 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (1 2 5) (3 4) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಚಕ್ರ ನಿರೂಪಣೆ ಅಥವಾ ಸೈಕಲ್ ನೋಟೇಶನ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};$

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ

• ಸಂಯೋಜನೆಗಳು
• ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ