ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" (ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುವ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ "ಸಂಚಯಗಳು" ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯಬಹುದು. ಉಹಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೂಗಳಿವೆ - ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಿಗೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಹೂಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಟ್ಟು ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಗುಲಾಬಿ, ಸಂಪಿಗೆ}. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ} ಮತ್ತು {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಮಲ್ಲಿಗೆ} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವೂ ಮುಖ್ಯ. ನಾಲ್ಕು ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೨ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ n ವಸ್ತುಗಳಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ k ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು $nC_{k}$ ಎಂದು ಅಥವಾ ${\binom {n}{k}}$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಲು n ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ${\binom {n}{1}}=n$. ಹೀಗೇ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ವಿಧಾನ. ಹೀಗಾಗಿ ${\binom {n}{n}}=1$.

${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}}$

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ -$\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ಇಲ್ಲಿ $n!=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1$ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}$

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ ${\binom {n}{k}}$ ಎಷ್ಟೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯಕ. ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸುವಾಗ k ಶೂನ್ಯವಾದರೆ ${\binom {n}{k}}=1$ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಬೇಕು. ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೂಡಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}$.

ಗಣಕವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

${\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\binom {n}{k-1}}{\frac {n-k+1}{k}}&\quad {\text{if }}k>0\\{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{n-k}}&\quad {\text{if }}k<n\\{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n}{k}}&\quad {\text{if }}n,k>0\end{cases}}$.

ಉದಾಹರಣೆ

೫೨ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಐದನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಬಹುದು?

${52 \choose 5}={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\frac {311{,}875{,}200}{120}}=2{,}598{,}960.$