ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ: ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ರೂಢಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ (ನೋಡಿ- [[ಬೀಜಗಣಿತ]]) ಹಿನ್ನೆಲೆಯಿಂದ ವಿಕಸಿಸಿರುವ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಆ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ರೂಪಗೊಂಡ ಇತರ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ, ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು (ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ); 1830ರಿಂದೀಚೆಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿಯೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಯೂ ವರ್ಧಿಸಿದೆ. 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆದಿಭಾಗದವರೆಗೂ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕೇವಲ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದೇ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿತ್ತು; ಎಂದರೆ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಪರಿಕರ್ಮಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಾದ ವ್ಯವಕಲನ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನೂ ಯಥಾವತ್ತಾಗಿ ನಡೆಸಿಕೊಂಡು ಬರುವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಪಾರವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... ಗಳ ಗಣ Z ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಸಮೂಹ ಕಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ (ರಿಯಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ ಖ ಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕೆಂಬ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಪರಿಪಾಲಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯಾಗಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವ ಒಂದು ಗಣದ (ಸೆಟ್) ಮೇಲಾದರೂ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿ ಅದರಿಂದ ದೊರೆಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೇ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಸಂಗಿಸುವುದು ಈ ವಿಷಯದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಧ್ಯೇಯ.