ಕ್ರಮಗುಣಿತ: ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
೧೬೮ ನೇ ಸಾಲು:
\end{align}</math>
:ಇಲ್ಲಿ <math>D^nx^n</math> ಎಂಬುದು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math><ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>
==''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?==
[[File:Log-factorial.svg|upright=1.35|thumb|right|'ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿತಂನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರೇಖೆ]]
''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್‍ಗಳ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಪೋನೆನ್ಶಿಯಲ್‍ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.
''n!'' ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು ''n!'' ಎಂಬುದರ ನೈಜ ಲಾಗರಿತಂ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,
:<math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x.</math>
''ln n!'' ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ''ln n!'' ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.
:<math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>
:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1.</math>
:<math>e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.</math>
ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ
<math>(n/3)^n < n!</math> ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ ''n'' ≥ 6 ಆದಾಗ <math>n! < (n/2)^n</math> ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.
[[File:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು]]
''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಾಗರಿತಂ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:
:<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac 1{12n}.</math>
[[ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜಂ]] ಅವರು ಕೂಡಾ ''n''! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ {{harv|Ramanujan|1988}}
:<math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6} + \frac {\ln(\pi)}{2}</math>
ಅಥವಾ
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[1 +1/(2n) +1/(8n^2)]^{1/6}.</math>
ಅಥವಾ
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right)</math>
| |||