ಕ್ರಮಗುಣಿತ: ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
೧೫೧ ನೇ ಸಾಲು:
ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.
==ಉಪಯೋಗಗಳು==
* '''n''' ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು '''n!''' ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. <ref>{{Cite book|url=|title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe|last=Cheng|first=Eugenia|date=2017-03-09|publisher=Profile Books|year=|isbn=9781782830818|location=|pages=|language=en|author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|url=|title=The Book of Numbers|last=Conway|first=John H.|last2=Guy|first2=Richard|date=1998-03-16|publisher=Springer Science & Business Media|year=|isbn=9780387979939|location=|pages=|language=en|author-link=John Horton Conway|author-link2=Richard K. Guy}}</ref>
* ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. '''n''' ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ '''k''' ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು '''n''' ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು '''n-1''' ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ '''k''' ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''n-k+1''' ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
::<math>\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(1)}.</math>
:ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಕೋಯೆಫಿಶಿಯೆಂಟ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ <ref name=":1">{{Cite book|url=|title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms|last=Knuth|first=Donald E.|date=1997-07-04|publisher=Addison-Wesley Professional|year=|isbn=9780321635747|location=|pages=|language=en|author-link=Donald Knuth}}</ref> ಮತ್ತ್ತು <math>\tbinom nk</math> ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
* [[ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್]]ವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ [[ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ]]ದಲ್ಲಿ,<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>.
* ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು [[ಸಂಭವನೀಯತೆ]] ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.<ref>{{Cite book|url=|title=Statistical Physics of Particles|last=Kardar|first=Mehran|date=2007-06-25|publisher=Cambridge University Press|year=|isbn=9780521873420|location=|pages=|language=English|chapter=Chapter 2: Probability|author-link=Mehran Kardar}}</ref>
* ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.
::<math>\begin{align}
n! &= D^n(x^n) \\
&= \frac{d^n}{dx^n}(x^n) \\
\end{align}</math>
:ಇಲ್ಲಿ <math>D^nx^n</math> ಎಂಬುದು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math><ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>
| |||