"ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)" ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮಧ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು

ಚು
ಸಂಪಾದನೆಯ ಸಾರಾಂಶವಿಲ್ಲ
No edit summary
ಚುNo edit summary
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿಪದ''' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.<blockquote><math>2, 6, 10, 14, ...</math></blockquote>ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:
 
<math>2, 6, 10, 14, ...</math>
 
ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:
{| class="wikitable"
!ಪದ
|ಮೊದಲನೇ
|ಎರಡನೇ
|ಮೂರನೇ
|ನಾಲ್ಕನೇ
|'''''<math>n''''' </math>ನೇ
|-
!ಚಿಹ್ನೆ
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: <math>T_1, T_2, T_3, ... T_n</math>
 
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:<blockquote><math>1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15</math></blockquote><blockquote><math>S = \{x : (2x+1), 1\leq x \leq 15\}</math></blockquote>ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: <math>T_1, T_2, T_3, ...</math>
 
<math>1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15</math>
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,<blockquote><math>2, 4, 6, 8, 10, ...</math></blockquote><blockquote><math>S = \{x : 2x, x > 0\}</math></blockquote>
 
<math>S = \{x : (2x+1), 1\leq x \leq 15\}</math>
 
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:<blockquote><math>1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15</math></blockquote><blockquote><math>S = \{x : (2x+1), 1\leq x \leq 15\}</math></blockquote>ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: <math>T_1, T_2, T_3, ...</math>
 
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
 
<math>2, 4, 6, 8, 10, ...</math>
 
<math>S = \{x : 2x, x > 0\}</math>
 
=== ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ===
|<math>T_4 - T_3</math>
|-
|<math>5, 8, 11, 14, ...</math>
|3
|3
|3
|-
|<math>3, 13, 23, 33, ...</math>
|10
|10
|10
|-
|<math>1, -1, -3, -5, ...</math>
| -2
| -2
| -2
|-
|<math>1, 1.5, 2, 2.5, ...</math>
|0.5
|0.5
|0.5
|}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು '''ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ''' ಅಥವಾ '''ಸ್ಥಿರಾಂಕ''' ''(Common Difference, C.D)'' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು <math>d</math> ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.<blockquote><math>T_1, T_2, T_3, T_4, ...</math></blockquote><blockquote><math>d = T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = T_4 - T_3 ...</math></blockquote>ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.<blockquote><math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವು, <math>d</math> ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,</blockquote><blockquote><math>T_1 = a</math></blockquote><blockquote><math>T_2 = T_1 + d = a + d</math></blockquote><blockquote><math>T_3 = T_2 + d = (a + d) + d = a + 2d</math></blockquote><blockquote><math>T_4 = T_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d</math></blockquote>ಹಾಗಾಗಿ, <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:<blockquote><math>a, (a+d), (a+2d), (a+3d), ...</math></blockquote>
 
<math>T_1, T_2, T_3, T_4, ...</math>
 
|<math>S_1d = T_2 - T_1, S_2 = T_1T_3 +- T_2, S_3 = T_1T_4 +- T_2T_3 + T_3...</math>
 
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
 
<math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವು, <math>d</math> ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,
 
<math>T_1 = a</math>
 
<math>T_2 = T_1 + d = a + d</math>
 
<math>T_3 = T_2 + d = (a + d) + d = a + 2d</math>
 
<math>T_4 = T_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d</math>
 
ಹಾಗಾಗಿ, <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:
 
<math>a, (a+d), (a+2d), (a+3d), ...</math>
 
==== ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು ====
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,<blockquote><math>5, 10, 15, 20, 25</math></blockquote><blockquote><math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \leq 50 \}</math></blockquote>ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು '''ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,<blockquote><math>5, 10, 15, 20, 25,...</math></blockquote><blockquote><math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \}</math></blockquote>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ <math>n</math>ನೇ ಪದವು <math>T_n = a + (n-1)d </math> ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
 
<math>5, 10, 15, 20, 25</math>
 
<math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \leq 50 \}</math>
 
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು '''ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
 
<math>5, 10, 15, 20, 25,...</math>
 
<math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \}</math>
 
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ <math>n</math>ನೇ ಪದವು <math>T_n = a + (n-1)d </math> ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! colspan="2" |+ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು
|-
| colspan="2" |ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ <math>5, 10, 15, 20, 25,...</math>ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:
| colspan="2" |ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ <math>5, 10, 15, 20, 25,...</math>ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:<blockquote><small><math>T_1 = a = 5, d = T_2 - T_1 = 10 - 5 = 5</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_1 = 5 = a = a + (1-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_2 = 10 = 5+5 = a+d = a+(2-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_3 = 15 = 5+5+5 = a+d+d = a+(3-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_4 = 20 = 5+5+5+5 = a+d+d+d = a+(4-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>\cdots</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_n = a+d+d+d ... = a + (n-1)d</math></small></blockquote>'''<big><math>\therefore T_n = a + (n-1)d</math></big>'''
 
<small><math>T_1 = a = 5,\ d = T_2 - T_1 = 10 - 5 = 5</math></small>
 
<small><math>T_1 = 5 = a = a + (1-1)d</math></small>
 
<small><math>T_2 = 10 = 5+5 = a+d = a+(2-1)d</math></small>
 
<small><math>T_3 = 15 = 5+5+5 = a+d+d = a+(3-1)d</math></small>
 
<small><math>T_4 = 20 = 5+5+5+5 = a+d+d+d = a+(4-1)d</math></small>
 
<small><math>\cdots</math></small>
 
<small><math>T_n = a+d+d+d ... = a + (n-1)d</math></small>
 
'''<big><math>\therefore T_n = a + (n-1)d</math></big>'''
|-
|<math>T_n + d = T_{n+1}</math>
 
==== ಶ್ರೇಣಿ ====
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು '''ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. <math>T_1, T_2, T_3...T_n</math> ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ <math>T_1+T_2+T_3+...+T_n</math> ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು <math>S_n</math> ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, <math>S_n = T_1 + T_2 + T_3 + ... + T_n</math>.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ
|<math>S_1 = T_1, S_2 = T_1 + T_2, S_3 = T_1 + T_2 + T_3...</math>
|<math>S_1 = T_1</math>
|-
|<math>S_2 = T_1 + T_2</math>
|-
|<math>S_3 = T_1 + T_2 + T_3...</math>
|-
|<math>S_n - S_{n-1} = T_n</math>
|}
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು '''ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
 
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ <math>a</math>, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ <math>d</math> ಆಗಿದ್ದು, <math>S_n</math> ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,
 
<math>S_n = \frac{n}{2}\left [2a + (n-1)d\right ]</math>
<math>S_n = \frac{n}{2}\left [2a + (n-1)d\right ]</math><blockquote>'''ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:'''</blockquote><blockquote><math>1+2+3+...+n</math> ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,</blockquote><blockquote><math>a=1,\ d=T_2-T_1=2-1=1,\ n=n</math></blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times1+(n-1)1]=\frac{n}{2}[2+n-1]</math></blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{1}^n n</math></blockquote><blockquote>'''ಮೊದಲ <math>n</math> ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ''' <math>= \frac{n(n+1)}{2}</math> '''ಅಥವಾ''' <math>\sum_{1}^n n = \frac{n(n+1)}{2} </math></blockquote><blockquote>ಅಲ್ಲದೆ, <math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math> ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:</blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]</math></blockquote><blockquote><math>\therefore S_n = \frac{n}{2}[a+T_n]\ \ \ \ \ \because\ T_n=a+(n-1)d</math></blockquote><blockquote><math>\therefore \frac{a+T_n}{2}\ \rightarrow\ </math>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.</blockquote>
 
'''ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:'''
 
<math>1+2+3+...+n</math> ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,
 
<math>a=1,\ d=T_2-T_1=2-1=1,\ n=n</math>
 
<math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times1+(n-1)1]=\frac{n}{2}[2+n-1]</math>
 
<math>S_n=\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{1}^n n</math>
 
'''ಮೊದಲ <math>n</math> ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ''' <math>= \frac{n(n+1)}{2}</math> '''ಅಥವಾ''' <math>\sum_{1}^n n = \frac{n(n+1)}{2} </math>
 
ಅಲ್ಲದೆ, <math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math> ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
 
<math>S_n=\frac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]</math>
 
<math>\therefore S_n = \frac{n}{2}[a+T_n]\ \ \ \ \ \because\ T_n=a+(n-1)d</math>
 
<math>\therefore \frac{a+T_n}{2}\ \rightarrow\ </math>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.
೧೬೦

edits

"https://kn.wikipedia.org/wiki/ವಿಶೇಷ:MobileDiff/754901" ಇಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ