ತ್ರಿಕೋನ: ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

[[ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ]]ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು-[[ಸಹರೇಖಿ]]ಯಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು ಹಾಗೂ ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ [[ಸಮತಲ]]ವನ್ನು (i.e. ದ್ವಿ-ಪರಿಮಾಣೀಯ [[ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಂತರ/ಅವಕಾಶ]]) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉದ್ದಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

 

* '''ವಿಷಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ''' ವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಅಸಮಾನ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.<ref>{{MathWorld|title=Scalene triangle|urlname=ScaleneTriangle}}</ref> ಅದರಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಕೂಡಾ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

<table align="center"><tr align="center"><td>.

</td></td></td></td></tr><td>

<tr align="center">

<table align="center"><td>

<tr align="center">

</td></td></td></tr><td>

<tr align="center">

</td></td></td></td></td></table>

 

ಆಯಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ರೀತಿ ತಿಳಿಯಪಡಿಸದೇ ಇದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ದ್ವಿ-[[ವಿಮಿತೀಯ]] [[ಸಮತಲ ಆಕೃತಿ]]ಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ [[ಅಸಮತಲೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು]] ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ನಿಖರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು ''2-[[ಸರಳೀಕೃತ/ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್]]‌'' ([[ಪಾಲಿಟೋಪ್‌]]‌ ಅನ್ನೂ ನೋಡಿ) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕುರಿತಾದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು [[ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌]]ರು ಅಂದಾಜು 300 BC ಅವಧಿಯ ತಮ್ಮ ''[[ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್]]'' ಗ್ರಂಥದ 1–4 ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಾದರಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

[[ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅವಕಾಶ]]ದಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಕೋನಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರನೇ ಕೋನದ ಅಳೆತಯ ಮಾಪನವನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ/ರೇಖಾತ್ಮಕ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಯಾದ (ಹಾಗಾಗಿಯೇ [[ಪೂರಕವಾದ]]) ಒಂದು ಕೋನವೇ ''[[ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ]]'' ವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನದ ಅಳತೆಯು ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು [[ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ]]ವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ (ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಒಂದರಂತೆ) ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೊತ್ತವು 360 ಕೋನಾಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.<ref>ಯಾವುದೇ '' n'' -ಬದಿಗಳಿರುವ [[Wiktionary:Convex|ಬಹಿರ್ವ್ರಕ್ರ]] ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ''n'' ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೊತ್ತವು 360 ಕೋನಾಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.</ref>

 

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಸದೃಶತೆಯ ಕಲ್ನೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು, [[ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಫಲನ/ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯ]]ಗಳಾದ ಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಸ್ವರೂಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ. ಇವು [[ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ]]ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುವ [[ಕೋನ]]ವೊಂದರ ಫಲನ/ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

 

ಪ್ರಮುಖ/ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, [[ಕರ್ಣ]]ದ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಎರಡು ಇತರೆ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳ ವರ್ಗದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ [[ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯ]]. ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವು ''c'' ಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳು ''a'' ಹಾಗೂ ''b'' ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ

 

ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು [[ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ]] ಹಾಗೂ [[ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ]]ಗಳ ಅನುಸಾರ (''ಕೊಸೈನ್‌ ಸೂತ್ರ'' ಹಾಗೂ ''ಸೈನ್‌ ಸೂತ್ರ'' ಗಳೆಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ (ಹಾಗೂ ಅನೇಕವೇಳೆ ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಹಾಗೆ ವಿಶೇಷ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಕೆಲ ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಂತಹಾ ನೂರಾರು ವಿವಿಧ ನಿರ್ಮಿತಿ/ರಚನೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು : ಅವುಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ ಆಕರಗಳು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜ(ಅಥವಾ ಶೃಂಗಗಳು)ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ ಆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ : ಮೂರು ಅಂತಹಾ ರೇಖೆಗಳು ಎಲ್ಲಿ/ಯಾವಾಗ [[ಏಕಾಭಿಮುಖವಾಗಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ]] ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾದ ಮಾನದಂಡ/ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ [[ಸೀವಾ'ರ ಪ್ರಮೇಯ]] ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಅದೇರೀತಿ, ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿತವಾದ ಬಿಂದುಗಳು [[ಸಹರೇಖೀಯ/ಸಹರೇಖಾತ್ಮಕ]]ವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ : ಇಲ್ಲಿ [[ಮೆನೆಲಾಸ್‌' ಪ್ರಮೇಯ]]ವು ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಧಾನ ಮಾನದಂಡ/ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವಂತಹಾ ನಿರ್ಮಿತಿ/ರಚನೆಗಳ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ [[ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ದ್ವಿಭಾಜಕ]]ವೆಂದರೆ ಬದಿಯ [[ಮಧ್ಯಬಿಂದು]]ವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿರುವ i.e. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಮೂಡಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ. ಮೂರೂ ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅದೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನ'ದ [[ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತ]]; ಈ ಬಿಂದುವು, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ [[ವೃತ್ತ]]ವಾದ [[ಪರಿವೃತ್ತ]]ದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು.

 

[[ಥೇಲ್ಸ್‌' ಪ್ರಮೇಯ]]ವು ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನವು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಲಘು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಶಾಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ [[ಲಂಬೋನ್ನತಿ]]ಯು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖವಿರುವ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ (i.e. ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸುವಂತಹಾ) ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯನ್ನು ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ''ಆಧಾರತಲ'' ವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಎತ್ತರವು/ಲಂಬೋನ್ನತಿಯು ಆಧಾರತಲವನ್ನು (ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆ) ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ''ಪಾದ'' ವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಉದ್ದವು ಪಾದ ಹಾಗೂ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ/ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಮೂರೂ ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ [[ಲಂಬಕೇಂದ್ರ]]ವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ಆ ತ್ರಿಕೋನವು ಲಘುತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರವೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ [[ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕ]]ವು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ. ಮೂರೂ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ತ್ರಿಕೋನ'ದ [[ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತ]]ದ ಕೇಂದ್ರವಾದ [[ಅಂತರ್‌‌ಕೇಂದ್ರ]]ವೆಂಬ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತವೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹಾಗೂ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೂರು ಇನ್ನಿತರ ಪ್ರಮುಖ ವೃತ್ತಗಳಿವೆ, [[ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತ]]ಗಳು; ಅವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾಗೂ ಉಳಿದೆರಡರ ವಿಸ್ತರಣಗಳಿಗೆ ತಾಗಿದಂತಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತ ಹಾಗೂ ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ [[ಲಂಬಸಂಪಾತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ]]ಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ [[ಮಧ್ಯರೇಖೆ]]ಯೆಂದರೆ [[ಶೃಂಗ]]ದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಿ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ [[ಕೇಂದ್ರ]]ವನ್ನು ತಲುಪಿ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರೂ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು [[ಮಧ್ಯಬಿಂದು]]ವೆನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಥಿರ ತ್ರಿಕೋನೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ಏಕರೂಪ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ತೆಳು ಹಾಳೆಯಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದ) ಅದರ [[ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣಾ ಕೇಂದ್ರ]]ವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು 2:1ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, i.e. ಶೃಂಗ ಹಾಗೂ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ನಡುಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ದುಪ್ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ನಡುಬಿಂದುಗಳು ಹಾಗೂ ಮೂರು ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳ ಪಾದ ಎಲ್ಲವೂ ತ್ರಿಕೋನದ [[ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತ]]ವೆಂಬ ಒಂದೇ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿರುವ ಉಳಿದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಶೃಂಗಗಳು ಹಾಗೂ [[ಲಂಬಕೇಂದ್ರ]]ದ ನಡುವಿನ ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಡುಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಪರಿವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತ ([[ಫ್ಯೂಯರ್‌ಬಾಚ್‌/ಷ್‌ ಬಿಂದು]]ವಿನಲ್ಲಿ) ಹಾಗೂ ಮೂರು [[ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತ]]ಗಳಿಗೆ ತಾಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆs.

 

ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ಹಳದಿ), ಲಂಬಕೇಂದ್ರ(ನೀಲಿ), ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತ (ಹಸಿರು) ಹಾಗೂ ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ (ಕೆಂಪು ಬಿಂದು)ಭಾರಕೇಂದ್ರ/ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರಗಳೆಲ್ಲಾ [[ಯೂಲರ್‌'ರ ರೇಖೆ]] (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಲಂಬಕೇಂದ್ರ ಹಾಗೂ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ನಡುಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದಲ್ಲದೇ, ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಲಂಬಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

 

== ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಗಣಿಸುವುದು ==

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಗಣಿಸುವುದು ಅನೇಕವೇಳೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಹಾಗೂ ಸರಳೀಕೃತವಾದ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ :

:<math>\mathrm{Area}=\frac{1}{2}bh</math>

:<math> \frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|.\, </math>

 

 

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎತ್ತರವನ್ನು [[ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ]]ಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಡದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡರೆ,

ಎತ್ತರವು/ಲಂಬೋನ್ನತಿಯು ''h'' = ''a'' sin γ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದ ''Area'' = ½''bh'' ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೀಗೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

:<math>Area=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A &amp; x_B &amp; x_C \\ y_A &amp; y_B &amp; y_C \\ 1 &amp; 1 &amp; 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A &amp; y_B &amp; y_C \\ z_A &amp; z_B &amp; z_C \\ 1 &amp; 1 &amp; 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A &amp; z_B &amp; z_C \\ x_A &amp; x_B &amp; x_C \\ 1 &amp; 1 &amp; 1 \end{pmatrix} \right)^2 }. </math>

 

ತ್ರಿಕೋನದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳಿಂದಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕೂಡಾ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳಿಂದಲೇ ಊಹಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. [[ಹೆರಾನ್‌'ರ ಸೂತ್ರ]]ದ ಪ್ರಕಾರ:

:<math>Area = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

ಇದರಲ್ಲಿ I ಆಂತರಿಕ ಘನಾಕೃತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು B ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಂತೆ ಇರುವ ಘನಾಕೃತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ

 

ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ, ಬದಿಯೊಂದರ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಕೋನವೊಂದರ ಗಾತ್ರ/ಅಳತೆಯನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಅನೇಕ ಸ್ವೀಕೃತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಕೆಲವೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮ/ಲಂಬ -ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರೆ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು.

 

=== ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ===

{{main|Trigonometric functions}}

 

[[ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ]]ಗಳಲ್ಲಿ, ಸೈನ್‌, ಕೊಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಕ್ತ ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಅವ್ಯಕ್ತ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

* ಸೂಚಿತ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬದಿಯೇ ''ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿ'' ಯಾಗಿದ್ದು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಆ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿ '''b''' ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಕೋನವೊಂದರ '''ಸೈನ್‌''' ಎಂಬುದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

:<math>\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}\,.</math>

=== ಸೈನ್‌, ಕೊಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ ನಿಯಮಗಳು ===

{{main|Law of sines|Law of cosines|Law of tangents}}

 

[[ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ]], ಅಥವಾ ಸೈನ್‌ ನಿಯಮವು,<ref>{{cite web|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/laws.html|title=The Laws of Cosines and Sines|author=Prof. David E. Joyce|publisher=Clark University|accessdate=2008-11-01}}</ref> ಬದಿಯೊಂದರ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಎಂದರೆ

[[arc:ܡܬܠܬܐ]]

[[arz:مثلث]]

[[ast:Triángulu]]

[[ay:Mujina]]