ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ

ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂಬುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನ (ಬೀಟ ಫಂಕ್ಷನ್). ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧದ ಆಯ್ಲರ್ ಅನುಕಲವೆಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಹೀಗಿದೆ:

$\mathrm {B} (l,m)=\int _{0}^{1}x^{l-1}(1-x)^{m-1}dx$, l ಮತ್ತು m > 0

ಇದರಲ್ಲಿ x = sin² θ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ ಈ ಮುಂದಿನದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

$\mathrm {B} (l,m)=\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2l-1}\theta \cos ^{2m-1}\theta \ d\theta$, l ಮತ್ತು m > 0

ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲಿಯೊನ್‍ಹಾರ್ಟ್ ಆಯ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಆದ್ರಿಯೆನ್-ಮಾರಿ ಲೆಜಾಂಡ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ಇದರ ಹೆಸರನ್ನು ಜಾಕ್ ಬಿನ ನೀಡಿದ.

ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

• B(l, m) = B(m, l)
• $\mathrm {B} (l,m)={\frac {\Gamma (l)\Gamma (m)}{\Gamma (l+m)}}$
• $\mathrm {B} (l,m)={\frac {(l-1)!(m-1)!}{(l+m-1)!}}$